UNIDAD_III_2015

Tema: TRANSFORMADA Z.
Objetivo: Analizar la transforma Z y transformada Z inversa, para

usarla como herramienta matemática en el estudio de sistemas
discretos.

La transformada z, en sistemasdiscretos en el tiempo,
desempeña un papel muy similar al de la transformada de
Laplace en los sistemas continuos en el tiempo. La transformada
de Laplace de una función x(t), está definida como:Cualquier función continua x(t), muestreada periódicamente, se

puede expresar matemáticamente, para t > 0 , mediante la
ecuación:

Es decir:

Si se introduce ahora una nueva variable Z definida como:Haciendo:

La siguiente ecuación se define como la transformada Z de la
función continua x(t). Así mismo, para una secuencia de números
x(k), la transformada Z es:

El uso de las propiedades de latransformada z facilita la
evaluación de la transformada z de una función así como el
análisis de sistemas de control en tiempo discreto.
1.- Multiplicación por una constante: Si X(Z) es la transformada

zde x(t), entonces:

2.- Propiedad de linealidad: Si X(Z) es la transformada Z de x(t)
e Y(Z) es la transformada Z de y(t), entonces:

4.- Propiedad de traslación: Si se tiene que X(Z) es latransformada Z de x(t) y que x(t) = 0 para t < 0, entonces:

Siendo n = 0, 1, 2, 3, …

5.- Propiedad de la traslación compleja: Si se tiene que X(Z)
es la transformada Z de x(t), entonces:

6.- Teoremadel valor inicial. Si X(Z) es la transformada z de
x(t), el valor inicial x(0) de x(t) ó de x(k) está dado por:

De acuerdo con la definición de transformada z:

Tomando el límite cuando Z → ∞ seobtiene:

7.- Teorema del valor final. Si X(Z) es la transformada z de x(t),
el valor final x(∞) de x(t) está dado por:

Por definición, la transformada Z de x(k) y de x(k + 1) son:

Restando las dosecuaciones anteriores se obtiene:

Tomando el límite de la ecuación anterior cuando Z →1 se
obtiene:

Teniendo en cuenta el teorema de la translación real:

De las ecuaciones dos últimas ecuaciones se...