UNIDAD III Líneas rectas

UNIDAD III: LÍNEAS RECTAS
COORDENADAS CARTESIANAS
Una relación entre dos variables por lo
regular se expresa por medio de una ecuación
algebraica que contiene a las dos variables.
Ejemplo: si x es la cantidad de artículos (en miles)
que se producen y se vende en una fábrica,
entonces la relación entre x y y = R (ingreso) a un
precio de $6, se expresa por la ecuación y = 6 x.
Para cada valor de x,el valor respectivo de y se
obtiene multiplicando el precio de $6 por el valor
de x.
Una ecuación algebraica de este tipo se
puede representar en forma geométrica mediante
una gráfica.

Las gráficas se construyen utilizando las
llamadas coordenadas cartesianas.

Dibujamos dos rectas perpendiculares
y
denominadas ejes de coordenadas
5 cartesianas, una horizontal y otra
4 vertical, interceptándoseen un punto O.
A
 P(x, y)
x
3 La línea horizontal se denomina eje x,
2 - y
y
la Vertical eje y O es el origen.
1 Un plano de tales ejes de
B
coordenadas se denomina plano
x
x
–5 –4 –3 –2 –1 0
cartesiano o plano x y.
O 1 2 3 4 5
–1
Seleccionamos una unidad de
longitud a lo largo de los ejes,
–2
pero no necesariamente iguales,
–3
partiendo del origen O que hace las
–4
veces de cero, marcamosescalas
–5
numéricas como en el gráfico.
Los números positivos se disponen a la derecha de O sobre el eje x y
por encima de O a lo largo del eje y.

Sea cualquier punto P sobre el plano trazamos las
perpendiculares PA al eje x y PB al eje y. El punto A
representa al número x sobre el eje x, el punto B
representa el punto y sobre el eje y, entonces x y y se
denominan las coordenadas cartesianas delpunto P, se
denota por el par ordenado (x, y).
Existe una correspondencia de cada punto P del plano con
un único par ordenado de números reales (x, y) que son
las coordenadas del punto, x se llama abscisa o
coordenada x, a y se denomina ordenada o coordenada y
del punto P.
La abscisa y la ordenada de P se conoce como las
coordenadas cartesianas rectangulares del punto P, la
notación
P(x, y) seutiliza para denotar al punto P con
coordenadas (x, y). Esta representación de puntos en el
plano por parejas de números reales se llama sistema de
coordenadas cartesianas.

Los ejes de coordenadas dividen al plano xy en cuatro
cuadrantes:
+∞ y
Segundo cuadrante
x < 0, y > 0

Primer cuadrante
x > 0, y > 0

x
-∞

O

Tercer cuadrante
x < 0, y < 0

+∞
Cuarto cuadrante
x > 0, y < 0

-∞

TEOREMA: (Fórmulade la distancia)
Si P( x1, y1 ) y Q( x2, y2 ) son dos puntos cualesquiera en
el plano, entonces la distancia d entre P y Q está dado
por
2
2

d  (x 2  x 1 )  (y2  y1 )

EJEMPLOS: 1) La ordenada de un punto es 6 y su
distancia al punto ( – 3, 2) es 5
Gráfica: La gráfica de una ecuación con dos
incógnitas, tales como
x y y, es el conjunto de
todos los puntos cuyas coordenadas (x, y)
satisfacenla ecuación.

1) Dibuje la gráfica de 3x – y + 5 = 0
2) Dibuje la gráfica de las relaciones de demanda
p + q 2 = 12, donde p denota el precio por unidad
y q es la cantidad demandada.
LÍNEAS RECTAS Y ECUACIONES LINEALES

Pendiente: La pendiente de una recta se
define como la razón de la elevación al
recorrido, se denota por lo general por la
letra m.
y 2  y1
elevación
PR
m=


QR
recorrido
x2 x1

Siempre que x2 – x1  0, es decir
que la línea no sea vertical,
la
pendiente no está definida para líneas
verticales. La pendiente de una línea
recta es la misma, no importando las
posiciones de los puntos P y Q sobre
la línea.

y

Q
P

R
x

2

y

2

– y1

– x1

x

Si la pendiente m de una línea es positiva, la línea asciende
hacia la derecha. Entre más grande sea el valor de m, la
inclinaciónde la línea es mayor con respecto a la
horizontal. Si m es negativa, la línea desciende hacia la
derecha. Si m = 0, la línea es horizontal.

Pendiente
positiva
grande
Pendiente
positiva
pequeña

Pendiente
negativa
grande

Pendiente
nula

Pendiente
indefinida

Pendiente
negativa
pequeña

Ejemplo: Encuentre la pendiente de la línea que une los
puntos (3, – 2) y ( 7, 5)

Diversas formas por la...