Unidad IV Análisis De Sensibilidad

4 Análisis de sensibilidad

En la mayoría de las aplicaciones prácticas, algunos de los datos del problema no se conocen con exactitud y por tanto, se tienen que se tienen que estimar lo mejor posible. En consecuencia es importante poder determinar la nueva solución óptima conforme se disponen de otras estimaciones de algunos de los datos, sin la costosa tarea de resolver el problema desde elprincipio. Por otra parte, en muchas situaciones las restricciones no son muy rígidas. Por ejemplo, una restricción puede reflejar la disponibilidad de algún recurso. Esta disponibilidad se puede incrementar mediante compras extras, tiempo extra, la compra de nuevos equipos, etc. Entonces es deseable que, sin tener que resolver de nuevo el problema, se pueda examinar el efecto de relajaralgunas de las restricciones sobre el valor objetivo óptimo.

Cambios en el vector de costo

Dada una solución básica factible óptima, supóngase que el coeficiente de costo de una (o más) de las variables se cambia de a . El efecto de este cambio sobre el tableau final ocurrirá en el renglón de costos; es decir se puede perder la factibilidad dual.

Cambios en una variable no básica

Caso I: esno básica
En este caso, no es afectado, y en consecuencia , no cambia para algún j. Por lo tanto se reemplaza por . Nótese que , pues el punto presente era solución óptima del problema original.
Si es positivo, entonces puede entra a la base y el método simplex primal se continua como es usual. En caso contrario, la solución anterior sigue siendo óptima con respecto al nuevo problema.Cambios en una variable básica

Caso I: es básica por ejemplo

En este caso, se reemplaza . Sea el nuevo valor de . Entonces se calcula como sigue:

En particular y . Luego y el nuevo objetivo será

Ejemplo
Considere el siguiente problema:



El tableau óptimo es el siguiente.




z
x1
x2
x3
x4
x5
LD
z
1
0
-3
-1
-2
0
-12
x1
0
1
1
1
1
0
6
x5
0
0
3
1
1
1
10

Ejemplo caso I.

Supóngaseque c2= 1 se reemplaza por -3. Puesto que x2 es no básica, entonces

los otros no son afectados. Como el problema es de minimización, entonces x2 entra a la base.






z
x1
x2
x3
x4
x5
LD
z
1
0
-3
-1
-2
0
-12
x1
0
1
1
1
1
0
6
x5
0
0
3
1
1
1
10
z
1
0
0
0
-1
-1
-2
x1
0
1
0
2/3
2/3
-1/3
8/3
x2
0
0
1
1/3
1/3
1/3
10/3

El tableau actual es óptimo.

Ejemplo caso II.

Supóngase ahora que c1 = 1se reemplaza por cero. Puesto que c1 es básica, entonces y


Como , entonces x3 entra a la base y



z
x1
x2
x3
x4
x5
LD
z
1
0
-1
1
0
0
0
x1
0
1
1
1
1
0
6
x5
0
0
3
1
1
1
10
z
1
-1
-2
0
-1
0
-6
x3
0
1
1
1
1
0
6
x5
0
-1
2
0
0
1
4

El tableau actual es óptimo.


Cambios en el lado derecho

Si el vector b del lado derecho se reemplaza por , entonces será reemplazada por . El nuevo ladoderecho se puede calcular sin evaluar explícitamente . Esto es . Puesto que para todas las variables no básicas (en un problema de minimización), la única violación posible de optimalidad es que el nuevo vector puede tener componentes negativas. Si entonces la misma base sigue siendo óptima y los valores de las variables básicas son y el objetivo tiene calor . En caso contrario, se usa elmétodo dual simplex para encontrar la nueva solución óptima mediante la recuperación de la factibilidad.
Ejemplo
Considere el siguiente problema y su tableau óptimo:




z
x1
x2
x3
x4
x5
LD
Z
1
0
-3
-1
-2
0
-12
X1
0
1
1
1
1
0
6
X5
0
0
3
1
1
1
10

Suponga que el lado derecho se reemplaza por . Entonces

La nueva solución es y
Cambios en la matriz de restricciones

Caso I: cambio en vectoresde actividades para columnas no básica

Supóngase que la columna no básica se modifica a . Entonces la nueva columna actualizada es y . Si , la solución anterior es óptima; en caso contrario, se continúa con el método simplex después de actualizar la columna j del tableau, introduciendo la variable no básica xj .

Caso II: cambio en vectores de actividades para columnas básicas...