Unidad IV Espacios Vectoriales

Unidad IV Espacios Vectoriales

4.1 Definición de espacio vectorial.
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
4.3 Combinación Lineal, Independencia lineal.
4.4 Basé y dimensión de un espacio vectorial.
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
4.6 Base orto normal, proceso de orto normalización de Gram Schmidt.




Unidad V Transformaciones lineales
5.1Introducción a las transformaciones lineales.
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
5.3 La matriz de una transformación lineal.
5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.



Espacios Vectoriales.
4.1 Definición de un Espacio Vectorial.
Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas laspropiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)
Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.
Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:
Si α v = 0 (escalar, vvector) entonces o bien es α= 0 o bien v= 0.


Ejemplos de espacios vectoriales
1) El espacio n ℜ , formado por los vectores de n componentes (x1,. . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . ., 0).
Noes un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜ)
2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:
P2 = {ax2 + bx + c : a, b, c ∈ ℜ }
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar unelemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2.
Veámoslo:
-Suma: (ax2 + bx + c ) + (a’x2 + b’x + c’ ) = (a + a’) x2 • + (b + b’) x + (c + c’) que pertenece a P2.
-Producto por un escalar real: λ∈ℜ , λ(ax + bx + c) = λax2 • + λbx + λc que pertenece a P2.
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0
No es un espaciovectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.
3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales.
No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos lospolinomios
p = x3 +x2 + x + 1, q = –x3 +x2 + x + 1
Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p + q = 2 x 2 +2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).
4) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales:
M2x2= (= a, b, c, d)
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2, y multiplicar unamatriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector 0 es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.
No es un espacio vectorial complejo.
5) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos.
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, ymultiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC.
También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC (Compruébese con elementos genéricos).
6) Consideremos el conjunto ME de las matrices 3x2 con términos enteros.
Podemos sumar dos matrices de ME y obtenemos otro elemento de ME:
En...