Unidad IV Variables Aleatorias Continuas

Unidad IV: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
4.1Definición de variable aleatoria continua
Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua.
En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc.
EjemplosResultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo más sencillo que podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una distribución uniforme en un intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier valor entre a y b.
Estatura de una persona elegida al azar en una población. El valor que se obtenga será unamedición en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos límites condicionados por la naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de valores más probables que otros debido a la distribución de alturas en la población. Más adelante veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de distribucióndenominado distribución Normal y representada por una campana de Gauss.
4.2Propiedades de la variable aleatoria continua
4.2.1Valor Esperado
El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le correspondeuna probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.
 Sea X una variable aleatoria discreta confunción de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está definido por:
E(X) = å xi  f(xi)
 Lo anterior significa, que para calcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.
 
El valor esperado representa el valor  promedio que seespera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a la media o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra m.
 De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:
 E(X) = m = å xi  f(xi) 4.2.2Varianza 
Se podría usar un argumento parecido para justificar las fórmulas para la varianza 
de la población 2 σ y la desviación estándar de la población σ . Estas medidas
numéricas describen la dispersión o variabilidad de la variable aleatoria mediante 
el “promedio” o “valor esperado” de las desviaciones cuadráticas de los valores de 
x a partir de su media µ . 
Sea x variable aleatoria discreta condistribución de probabilidad f(x) y media µ . 
La varianza de x es: La varianza de x es: σ2 = E[( - X µ) ] =∑(x - µ)2 f (x)
Sea x variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x) y media µ . 
La varianza de x es : σ2 = E[( X -µ)2 ] = ∫ (x- µ)2 f x dx
4.2.3Desviación estándar
La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos.
La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada dela varianza.

La desviación estándar de x es la raíz cuadrada positiva de la varianza de x.


4.3Distribución Uniforme
La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple. Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma...