UNIDAD VII Integrales Teoria

UNIDAD VII: INTEGRALES

7.1 Conceptos de: Sumas de Riemann e Integral Definida. Condiciones y
propiedades de Integrabilidad.
7.2 Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.
7.3 Integrales Impropias.
7.4 Concepto y propiedades de la Integral Indefinida.
7.5 Cálculo de Integrales indefinidas inmediatas.
7.6 Teoremas fundamentales de Cálculo.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIDAD VII:INTEGRALES

7.1 Conceptos de: Sumas de Riemann e Integral Definida. Condiciones y
propiedades de Integrabilidad.

Definición de integral definida.- Si f es una función continua definida para

a ≤ x ≤ b , dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho
Δx =

(b − a )
. Hacemos que x0 = a, x1 , x 2 ,
n

, x n = b sean los puntos extremos de

estos subintervalos y elegimos los puntos muestrasx1∗ , x 2∗ ,

, x n∗ en estos

subintervalos, de modo que x i∗ se encuentre en el i-ésimo subintervalo [xi −1 , xi ] .
Entonces la integral definida de f , desde a hasta b , es:
b

n

∫ f (x)dx= lím∑ f (x )Δx
n→∞

a

Leibniz introdujo el símbolo

∫

i=1

∗
i

y se llama signo de integral. Es una S alargada y

se eligió así debido a que una integral es un límite de sumas.
b

∫ f ( x) dx ,

En lanotación

f (x ) se llama integrando y a y b se conocen como

a

límites de integración, dx es el diferencial.
El proceso para calcular una integral se llama integración.
n

La sumatoria

∑ f (x )Δx, para las distintas particiones de [a, b] , se conocen
i=1

∗
i

como sumas de Riemann.

Si f ( x ) ≥ 0 , la suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos.

Ejercicio: Evalúe la suma deRiemann para f ( x) = x 3 − 6 x , tomando los puntos
extremos de la derecha como los puntos muestras y a = 0, b = 3 y n = 6 .

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Grafique la función y observe que f no es una función positiva, por lo que la
suma de Riemann no representa una suma de áreas de rectángulos. Pero sí
representa la suma de las áreas delos rectángulos que están arriba del eje

x menos la suma de las áreas de los rectángulos que están abajo del eje x .

Calcular la suma de Riemann para

f ( x) = x 2 − 4 en

[− 2,3]

con cinco

subintervalos determinados por:
x0 = −2,
x1 = −1,

1
x1 = − ,
2
1
x2 = − ,
4

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x 2 = 0,
x3 =

1
,
2

x3 = 1,
x4 =

3
,
2

x4 =

7
,
4

x54 =

x5 = 3
5
2

3

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Re spuesta = −8.72

Es importante mencionar que para una función f definida en un intervalo [a, b] ,
hay un número infinito de sumas de Riemann , puesto que los números x i∗ se
pueden escoger arbitrariamente en cada subintervalo [xi −1 , xi ] .

Condiciones y propiedades de Integrabilidad.
Teorema: Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces
f es integrable en [a, b] .

Es posible que la integral exista, aún cuando la función sea discontinua en
algunos números de [a, b] .
Propiedades de la integral definida.
Las siguientes propiedades básicas de las integrales nos ayudarán a evaluarlas
con más facilidad.
Sean f y g funciones continuas y c una constante.
b

1. ∫ c dx = c(b − a)
a

2.

b

b

⎡

b

⎤

a

a

⎣

a

⎦

∫ [ f (x) ± g ( x)] dx = ∫ ⎢ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ⎥
b

b

a

a

3. ∫ c f ( x)dx = c ∫ f ( x)dx

7.2 Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.
Si la función f es continua en [a, b] , entonces existe un número X en [a, b] tal
que
b

∫ f (x) dx = f ( X )(b − a)
a

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Ejemplo: Encontrar la altura f (c ) de unrectángulo, de tal manera que el área
A bajo la gráfica de x 2 + 1 , en [− 2,2] sea igual a f (c)[2 − (−2)] = 4 f (c) .

Re spuesta : f (c) =

7
3

Tarea: Obtenga el valor medio A( f ) de la función dada en el intervalo indicado.
f ( x) = 3 x 2 − 4 x;

f ( x ) = 5 x + 1;

[− 1,3]

[0,3]

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7.3 Integrales...