UNIDAD I y II MATE. INTERMEDIA

Ing. César Ariel Villela Rodas, Segundo semestre 2012

UNIDAD 1
Matrices, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes
1.1 Matrices y álgebra lineal
Se aprenderá a resolver sistemas de ecuaciones que tienen la forma:

a11 x1
a 21 x1

a m1 x1

 a12 x 2
 a 22 x 2


 am 2 x2

 a13 x3
 a 23 x3


 a m 3 x3

   a1n x n
   a2n xn
  

   a mn x n b1
 b2
 
 bm

Por medio de tres métodos utilizando matrices:




Método de eliminación de Gauss
Método de eliminación de Gauss-Jordán
Método de la Matriz Inversa X  A1  b





Y tiene las siguientes soluciones:




Única solución: Intersección entre rectas.
Soluciones Infinitas: Rectas sobre rectas.
No hay solución: Rectas paralelas.

1) Matrices:
Matriz:Una matriz A de m x n (m por n) es un arreglo rectangular de “mn” números distribuidos en un
orden de “m” renglones o filas (líneas horizontales) y “n” columnas (líneas verticales), de la siguiente
manera:

 a11
a
 21
 
A= 
 ai1
 

a m1






a12
a 22

ai 2

am2

 a1 j
 a2 j


 



 a1n 
 a 2 n 

 

 ain 

 

 amn 

“A” se escribe a veces A  aij  .
A los elementos a mn se le llama elementos de la matriz. El primer subíndice es la fila y el segundo
subíndice es la columna.
El tamaño de la matriz es m x n (m filas y n columnas).
A una matriz n x 1 se le llama vector columna. (útiles para la notación vectorial de respuestas).
A una matriz de 1 x m se le llama vector fila.

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Tipos de matrices:


Matriz cuadrada: Si A es una matriz de m x n con m = n se dice que A es una matriz cuadrada. (Ej.)



Matriz cero: Una matriz de m x n con todas sus componentes iguales a cero, es una matriz cero de
m x n. (Ej.)



Matriz triangular: Una matriz cuadrada, se dice que es una matriz triangular si todos los elementos
queestán por arriba de la diagonal principal (triangular inferior) o por debajo de la diagonal principal
(triangular superior) son iguales a cero. (Ej.)



Matriz diagonal: Una matriz cuyos elementos por arriba y por debajo de la diagonal principal son
iguales a cero, se llama matriz diagonal. (Utilizada en el Método de Gauss-Jordán) (Ej.)



Matriz identidad: Una matriz diagonal en laque todos los elementos son iguales a uno se llama
matriz identidad. (Útil para encontrar la inversa de una matriz). (Ej.)



Matriz escalonada: Una matriz tiene la forma escalonada cuando (Útil para resolver Método de
Gauss):






El elemento de la primera fila y primera columna es uno, y aparecen ceros debajo de esta.
El elemento distinto de cero en cada fila después delprimero es uno, con ceros debajo de este,
y aparece a la derecha del primer elemento distinto de cero en cualquier fila superior.
Todas las filas que solo contienen ceros a la izquierda aparecen en la parte inferior. (Ej.).

Matriz transpuesta: Sea A  aij  una matriz de m x n. Entonces la transpuesta de A, escrita A , es
la matriz n x m obtenida intercambiando las filas y las columnas de A.Abreviadamente se escribe
At  (a ji ) . (Ej.)
t

At  A . (Ej.)



Matriz Simétrica: Se dice que la matriz A de n x n es simétrica si



Matriz Adjunta: Sea A una matriz de n x n y sea B que es la matriz de cofactores, dada por. (Útil al
encontrar la inversa por determinantes)

 A11
A
 21
 
B= 
 Ai1
 

 An1

A12
A22

Ai 2

An 2

 A1 j
 A2 j






 A1n 
 A2 n 

 

 Ain 

 

 Ann 

Entonces la Adjunta de A, escrita como adj A, es la transpuesta de la matriz B de n x n. Esto es

AdjA  B t . (Se utilizará y se explicará más detalle al estudiar inversa utilizando determinantes).
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2) Álgebra Matricial:
Se refiere a las operaciones...