Unidad I

1.1 Definiciones (Ecuaciones diferencial, orden, grado, linealidad)

Ecuación diferencial

Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Se clasifican de acuerdo con las tres propiedades siguientes.

Clasificación según el tipo

Si una ecuación contiene sóloderivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo,









son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).Por ejemplo,





.

Clasificación según el orden

El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Por ejemplo,



es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Puesto que la ecuación diferencial =0 puede llevarse a la forma



dividiendo entre , es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden. La ecuación



es una ecuacióndiferencial de cuarto orden.

Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, su estudio exige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se representa a menudo mediante el símbolo

.


Clasificación según la linealidad o no linealidad

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma.
Debe hacerse notar que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:

a) la variable dependiente junto con todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de cada término en es 1.
b) cada coeficiente depende sólo de la variable independiente .

Una ecuación que no es lineal se dice no lineal. Las ecuaciones

(EDO lineal deprimer orden)

(EDO lineal de segundo orden)

(EDO lineal de tercer orden)

son ejemplos de ecuaciones lineales.


1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales

Se dice que una función cualquiera, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad.

En otras palabras,una solución de una ecuación diferencial es una función que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación. Es decir,



para todo del intervalo I.


Ejemplo

La función es una solución de la ecuación no lineal


En . Puesto que



vemos que


para todo número real.


Ejemplo

La función es una solución de la ecuación no lineal en . Para comprender esto se evalúany

Obsérvese que

para todo número real.

Nótese que en los ejemplos anteriores la función constante y = 0, , satisface asimismo la ecuación diferencial dada. A una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un intervalo I, se le denomina a menudo solución trivial.


Tipos de soluciones

Solución n-paramétrica. Si la solución contiene n parámetros se le llama soluciónn-paramétrica o familia n-paramétrica de soluciones. De hecho al resolver una ecuación de n-ésimo orden se espera obtener una solución con n parámetros.

Solución particular. Es una solución que se obtiene a partir de una solución n-paramétrica dándole valores a los parámetros.

Solución singular. Es una solución que no se puede obtener a partir de una solución n-paramétrica.

Solucióngeneral. Si la única solución de una ecuación diferencial es una familia n-paramétrica de soluciones, es decir no existe solución singular para tal ecuación, entonces se dice que tal solución es la solución general de la ecuación diferencial.

Solución explícita. Si la incógnita y viene despejada en función de la variable independiente x.

Solución implícita. Si la solución no es explícita se dice...