Unidad v series de fourier unidad vi introduccion a las ecuaciones diferenciales parciales

SEP SNEST DGEST

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TOLUCA

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MATEMATICAS V

TRABAJO:
UNIDAD V SERIES DE FOURIER
UNIDAD VI INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

POFESORA: ABIGAIL VILLEGAS SANCHEZ

PRESENTA:
AHUMADA HERNÁNDEZ ABIGAIL
GONZÁLEZ JASSO MAYRA20/11/2011





INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo trataremos acerca de series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales.
La primera tratara en términos generales de funciones ortogonales, conjuntos orto normales, series de Fourier, periodo arbitrario, funciones pares e impares de desarrollo cosenoidal o senoidal, intervalo medio y forma complejaserie de Fourier.
La segunda abarca lo que son las diferenciales parciales, orden y linealidad, clasificación de estas de segundo orden (elípticas, parabólicas e hiperbólicas), métodos de solución (directos, equiparables, con las ordinarias, separación de variables y finalmente aplicaciones de las misma

















INDICEUNIDAD V SERIES DE FOURIER 4
5.1 FUNCIONES ORTOGONALES 4
5.2 CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES 6
5.3 DEFINICION SERE DE FOURIER 8
5.4 CONVERGENCIA SERIE DE FOURIER 11
5.5 SERIES DE FOURIER FUNCION PERIODO ARBITRARIO 12
5.6 SERIES DE FOURIER FUNCIONES PARES E IMPARES (DESARROLLO COSENOIDAL O SENOIDAL) 12
5.7 SERIE DE FOURIER EN MEDIO INTERVALO 14
5.8 FORMACOMPLEJA SERIE DE FOURIER 16

UNIDAD VI INTRODUCCION A LAS DIFERENCIALES PARCIALES 18
6.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL (EDP) 19
6.2 FORMA GENERAL ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL SEGUNDO ORDEN 21
6.3 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE 2 ORDEN (ELÍPTICAS, PARABÓLICAS E HIPERBÓLICAS) 24
6.4 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (DIRECTOS, EQUIPARABLES CONLAS ORDINARIAS Y SEPARABLES DE VARIABLES) 31
6.5 APLICACIONES 33
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 38










UNIDAD V SERIES DE FOURIER

5.1 FUNCIONES ORTOGONALES

DEFINICIÒN:
Se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son "ortogonales" si su producto escalar es nulo. Dos funciones  y  son ortogonales es un intervalo [a, b] si

f1,f2=abf1xf2xdx=0EJEMPLO 1:

Las funciones ortogonales ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3  son ortogonales en el intervalo [1, 1] puesto que
f1,f2=-11f1xf2xdx
=-11x2.x3dx=16x6|1-1=0

EJEMPLO 2:
f1x=x, f2x=cos2x;-π2 , π2

f1,f2=-11f1xf2xdx

xcos2x dx=

Resolviendo de la forma:
cosu du=sen u+C
cos2xdx
u=2x
du=2dx; du2=dx ∴
=cosu du2= 12cosu du= 12 sen u+C
=12sen 2x+C

* Resolviendointegral por partes:
u dv=uv-v du
xcos2x dx=
u=x
du=dx
dv=cos 2x
v=cos2xdx ∴ v =12sen 2x+C ∴
=x(12sen 2x)-12sen 2x;
=x(12sen 2x)-12sen 2x;**

Resolviendo integral: sen 2x; de la forma: sen u du=-cosu ∴
sen2xdx
u=2x
du=2dx; du2=dx ∴
=senu du2= 12senu du=- 12 cos u+C
=-12cos 2x+C ∴ RETOMANDO LA INTEGRAL **
=x(12sen 2x)-12sen 2x;
=(12xsen 2x)-12(-12cos 2x);
=(12xsen2x)+(14cos 2x);
=12xsen 2x+14cos 2x; evaluándola en el intervalo -π2 , π2 ∴
=12xsen 2x+14cos 2x|-π2 π2=0

∴

5.2 CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES

Se dice que un conjunto de funciones con valores reales  es ortogonal  en un intervalo [a, b] si 

∅m,∅n=ab∅mx∅nxdx=0, m≠n

EJEMPLO 1:
Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x,. . .} es ortogonal en el intervalo –π,πSolución:
Si hacemos las identificaciones ∅0x=1 y ∅nx=cosnx, entonces debemos demostrar que -ππ∅0x∅nxdx=0, m≠n , y -ππ∅mx∅nxdx=0, m≠n. En el primer caso tenemos lo siguiente:

∅0,∅n=-ππ∅0x∅nxdx=-ππcosnx dx
=1nsen nx |π-π
1nsen nπ-sen(-nπ)=0, n≠0,

En el segundo realizamos lo siguiente:

Utilizando identidad trigonométrica
∅m,∅n=-ππ∅mx∅nxdx=-ππcosmx cosnx dx...