Unidad07 LA ELIPSE

TECSUP - PFR

Geometría Analítica

UNIDAD V

LA ELIPSE
1.

INTRODUCCIÓN
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos F y F’, llamados focos, es constante y mayor que
la distancia entre estos puntos fijos. La distancia entre F y F’ se llama distancia
focal, su valor se designa 2c y la recta determinada por los focos se conocecomo eje focal; mientras que, al punto medio del segmento FF’ se le denomina el
centro de la elipse. El eje focal corta a la elipse en dos puntos V y V’ llamados
vértices y el segmento VV’ recibe el nombre de eje mayor. Finalmente la recta
perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse se la conoce como
eje normal, el cual corta a la elipse en dos puntos A y A’, los cualesdeterminan
un segmento AA’ llamado eje menor.

Eje normal
A

2c

·F’

V’

2b

·F

V

Eje focal

A’
2a

Donde siempre se cumple que a > b y a2  b2  c 2 .
2. DEFINICIÓN: La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve de
modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijas (focos) se mantiene constante a
“2a”
y
directriz

D’

lado recto
A
F’

F

V
x'

c
D

C c

x
b

A’
a

L

b
V’

a
y'

L____________________________________________________________________________________
101

Geometría Analítica

TECSUP - PFR

ELEMENTOS
F; F’
FF’
V; V’
VV’
xx’

:
:
:
:
:

son los focos de la elipse
2c
son los vértices de la elipse
eje mayor = 2a
la recta que pasa por los focos se llama eje focal

C

: punto medio del segmento que une los focos se llama centro.

eje normal

: yy’

eje menor

: AA’ = 2bcuerda : DD’
Si una cuerda pasa por cualquiera de los dos focos, se le llama cuerda focal. Si la
cuerda focal es perpendicular al eje focal la cuerda se llama lado recto.
2b
Longitud del lado recto 

2

a

L: directriz
Relación entre a, b y c
Para cada elipse “a” es la longitud del semieje mayor, “b” la longitud del semieje
menor: a, b y c están ligados por la relación:
y

b
c

c
x

b
a

a

a2

2

b c

2

La excentricidad está dada por:
c

e

3.

a

1

ECUACIÓN DE UNA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL
EN EL EJE X
y
directriz
b
a

a
b
directriz

x
a

Las ecuaciones de las directrices

2
2

y



x

b

a
c

102

2
2

1

x

TECSUP - PFR

4.

Geometría Analítica

ECUACIÓN DE UNA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN (O: O) Y EJE
FOCAL EN EL EJE Y
x
b

2
2



y
a

2
2

1

Lasecuaciones de las directrices “L”
y

a
c

directriz

a
b

b

x

a

5.

directriz

ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (H; K) Y EJE FOCAL PARALELO AL
EJE X
y
directriz
b
a

a
b

( x  h)

(h; k)

a

directriz

2



2

(y  k)
b

2

1

2

x

x = h

directrices:

6.

a
c

ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (H; K) Y EJE FOCAL PARALELO AL
EJE Y
y

directriz

a
b

( x  h)

b
(h; k)
a

b

2

2



(y  k)
a2

2

1

directriz

x

Directrices

y = h

a
c

____________________________________________________________________________________
103

Geometría Analítica

TECSUP - PFR

Teorema: La tangente a la elipse

x
a

2

y



2

b

2

en cualquier punto

1

2

P( x 1 ; y 1 )

de la curva

tiene por ecuación.
y

P(x1; x2)

b
a

a

x

b

x 1x
a

2

y y
 1 1
2
b

TEOREMA: Las ecuaciones de latangente de pendientes “m” a la elipse de ecuación
2
2
x  y 1
2
2
a
b

son:
y

b
a

a

x
m

b

1

2

2

y  mx  a m  b

2

Teorema: La ecuación de las tangentes de pendiente “m” a la elipse
( x  h)
a

2

2



(y  k)
b

2

2

1

son:
y

b
a

a
b

m

(h; k)

1
x

2

2

y  k  m( x  h)  a m  b

104

2

TECSUP - PFR

Geometría Analítica

NIVEL I: BASICO
1.- La ecuación de una elipse es

x2 y2
 1, determinar las coordenadas de los
8 16

focos y vértices y las longitudes de los ejes menor y mayor.
2.- Los vértices de una elipse son V (5;  2) y V’ (-1; -2). Encontrar la ecuación de la
elipse si uno de sus focos está en la recta y  2x  10  0 .
3.- Determinar el centro los focos, los vértices y la longitud de los semiejes de la
elipse 25x2  9y2  150x  36y  36  0 .
4.- Una...