UNIDAD11

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA

UNIDAD
XI

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA

11. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación
que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es
decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo
grado o polinomio cuadrático. La expresióncanónica general de una ecuación
cuadrática de una variable es:
2

ax + bx +c
=0

x=

-b±

2

b – 4ac
2a

Fórmula para determinar
sus soluciones (raíces) es:

2

Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x - 3x - 4 = 0
SOLUCIÓN
Se obtiene el valor de: a=1, b=-3 y c=-4 y se reemplazan en la fórmula
dada:

3 ±
x=

9 + 16

x2 = -1

x1 = 4

2

También se puede obtener las raíces de la ecuaciónfactorizando como
producto de binomios:

(x - 4)(x + 1) = 0
DISCRIMINANTE

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA
Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado de la forma
2

ax + bx + c = 0,

entonces:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
INCOMPLETAS

Si en la ecuación ax 2  bx  c  0 alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice
que es una ecuación incompleta y se puedenresolver directamente:
a) si b  c  0 entonces la ecuación queda ax 2  0 y la solución es x  0
b) si b  0 entonces la ecuación queda ax 2  c  0 ;
Ejemplo 3x 2  12  0
3x 2  12
12
x2 
4
3
x   4  2
c) si c  0 entonces la ecuación queda x 2  bx  0 ;
Ejemplo 3x 2  12 x  0
Se saca factor común x

x3x  12  0
Primer factor cero x=0
Segundo factor cero 3x  12  0 ; x=4.

INTRODUCCIÓNA LA MATEMÁTICA
EJERCICIOS NIVEL 1
1) Escribe cada una de las siguientes
ecuaciones en forma general identificando
los coeficientes a b y c.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

 2 x 2  3x  5  0
3x 2  4 x  1
1  3x 2  x  0
2  3x  4 x 2
2 xx  1  2
( x  2) x  3x(2 x  1)
2 x  3  4 x 2  5x  1
2  3x2  x  1
x  23  2x  3

2) Decir en cada ecuación si los valores que se
proponenson solución o no de la ecuación.

4) Calculando el discriminante, indicar el
número de soluciones de las siguientes
ecuaciones:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)

5) Resolver las siguientes ecuaciones de
segundo grado, por cualquier método:

a)

x 2  7 x  10  0 ;
x  0, x  2, x  3, x  5

b)

2 x 2  5x  2  0 ;
x  1, x  1 / 2, x  2, x  3

a)

2 x 2  3x  5  0 ;
x  1, x  1, x 2, x  2

c)

c)

b)
d)
e)

3) Resolver las siguientes ecuaciones de
segundo grado incompletas.

x x0
2x 2  0
x2  9  0
4x 2  9  0
x 2  2x  0
8x 2  16x  0
3x 2  4  28  x 2
x 2  9x  0
x2  1 0
x 2  6  10
1  4x 2  8
x 2  11x  0
 x  5 x  1  5  0
n) 3x  23x  2  77
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)

2

x 2  7x  3  0
x 2  16x  64  0
x 2  6x  13  0
x2  14x  49  0
3x 2  5x  2  0
2x 2  x  45  0
x2  x  2  0
4x 2  12x  9  0
x 2  8x  25  0
x  2x 2  7  0
x  5  3x 2  0
8  x 2  3x  0

f)
g)
h)

x 2  8x  15  0
2x 2  9x  1  0
4x 2  12x  9  0
x 2  8x  25  0
4 x 2  12 x  9  0
3x 2  2x  1  0
x 2  7x  3  0
3x 2  6x  12  0

6) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 11x  21  2x 2
b) 3 x  1 x  2  3x 6
c) 21x  100  x 2  21  x
d) 2x 2  1  1  x  x 2
e)
f)
g)

 x  2 2  3
 5x  3 2  11 4x  1  1
 4x  1 2x  2  12

h) x 2 

x 1 2x
 
2 3 3

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA
EJERCICIOS NIVEL 2
01. Dar el conjunto solución de:

01. Indica una raíz de: 2x 2  5x  1  0

3x2 – 2x(x - 4) = x – 12
02. Si x=1, es una raíz de la ecuación
02. Resolver:
2

(x + 4) = 2x(5x - 1) – 7(x- 2)
03. Si: a  b son raíces de la ecuación.
x2
74
x
x
x

Además a < b. Calcular: a/b
04. Si (-6) es una de las raíces de la

ecuación:
x2 + (n + 3)x + n + 2 = 0
Calcular la otra raíz aumentada en
“n”.
05. Una raíz de la ecuación:

2x2 + (4a - b)x – 2ab = 0
Si una raíz de la ecuación:
2x2 – 4x + c2 – 2c – 3 = 0
es cero. Hallar: “c” (c < 0)

cuadrática:
3x 2  n  2x  3  2n  0
¿Qué...