Unidad2Funcionesreales

Unidad 2
Funciones

Universidad Diego Portales
CALCULO I

1

Funciones – Conceptos generales
Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función de A en B es
una regla que relaciona cada elemento x de A con un único
elemento y de B.
Por ejemplo, sea A = {x / x alumno de la UDP}, B = IN y f la
función que asigna a cada elemento x de A su edad y en años.
Notación: f: A
B se lee “f función de A en
B” yla regla de correspondencia se acostumbra
denotar y = f(x). El elemento y de B se llama
imagen de x por la función f.
El conjunto A para el cual f asigna una única imagen y ∈B se
denomina el dominio de la función f (Dom f). El conjunto de los
correspondientes valores y∈B se conoce como recorrido de la
función f (Rec f).

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2

Ejercicio: Construya dosrelaciones que constituyan funciones
Si A = IR o A ⊆ IR, entonces se dice que la función y = f(x) con
x∈A es una función de una variable real. Si además B = IR, se
dice que f es una función real de variable real.
En esta unidad nos interesa estudiar las
funciones reales de una variable real.
Así
entonces el dominio y recorrido se expresan,
Dom f = {x ∈ IR / ∃! y ∈ IR tal que y = f(x)}
Rec f = {y ∈ IR / y =f(x), para un x ∈ Dom f}

Ejemplos de tales funciones son las siguientes:
f : IR → IR

g : [3, ∞[→ IR

x → f(x) = 2x + 3

x → g(x) = x - 3

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3

Visualización de una función
x

Una forma de visualizar una
función es mediante un
diagrama de flechas. Cada
flecha va de un elemento de
A y termina en un elemento
de B.

f(x)

Otra forma es como una maquina:
Si xesta en el dominio de la
función f, cuando x entra en la
máquina, queda aceptada como
materia prima y la máquina
produce una salida f(x), siguiendo
las reglas de la función.

Las funciones preprogramadas de una calculadora son ejemplos
de la función concebida como una máquina.
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4

Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales, y escribiremos
f = g, si ysólo si Dom f = D = Dom g y
además f(x) = g(x) para todo x en D.
Por ejemplo, las funciones f y g dadas por f(x) = x + 1 y g(x) =
son iguales en IR – {1}.

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x2 − 1
x −1

5

El concepto de función es una de las ideas fundamentales
en matemáticas. Una función expresa la idea de que una
cantidad depende o está determinada por otra.

1. El área de un círculo dependede la longitud de su
radio.
2. El costo de producir cualquier artículo depende del
número de artículos producidos.
3. La temperatura a la que hierve el agua depende de la
altura ( el punto de ebullición baja si uno asciende).
4. La cantidad en la que crecerán sus ahorros en un año
dependen de la tasa de interés ofrecida por el banco

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6

Si una función seestablece mediante una fórmula y su dominio
no se especifica explícitamente, se adopta la convención de que
el dominio es el conjunto de todos los números para los cuales
tiene sentido la fórmula y da como resultado un número real.
Por ejemplo, determinemos el dominio de la función

g( t ) =

t2 − 2t
t −1



t 2 − 2t
t(t - 2)


Dom g =  t ∈ IR /
≥ 0  =  w ∈ IR /
≥ 0  = [0,1) ∪ [ 2, ∞ )
t−1
t -1





Ejercicio: Determine el dominio de las siguientes funciones,
f1( x ) =

3

f2 ( x ) =

2

x +x−6
2
f3 ( t ) = 4 t −
t +1
f5 ( w ) =

x2
x3 + x2 − 6x

f4 (u ) = u 2 − 2u − 8
2

4 − w + w −1

f6 ( x ) =

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3

2x + 1

3

2x + 2

7

Ejercicio: Verifique los recorridos de las siguientes funciones
en el dominio que se indica
Función

Dominio

y = x2
1y=
x -1
y = 4-x

IR

[0.∞[

IR - {1}

IR - {0}

]- ∞,4]
[- 1,1]

[0, ∞[
[0,1]

y = 1- x2

Re corrido

Ejercicio: Considere las funciones f y g dadas. Determine
el dominio de f y el recorrido de g.
f : D → IR +
x → f(x) =

g : [5, ∞[ → IR
2x − 3
x +1

x → g (x) = x − 1

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El gráfico de una función real de variable real
Si f es una función real cuyo...