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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 1

Página 75
PRACTICA
Operaciones con polinomios

1 Efectúa las operaciones y simplifica las siguientes expresiones:
a) x (x 2 + 1) – 3x (–x + 3) + 2(x 2 – x)2
b) 2(x 2 + 3) – 2x (x – 3) + 6(x 2 – x – 1)
c) –4x (x – 4)2 + 3(x 2 – 2x + 3) – 2x (–x 2 + 5)
a) x(x 2 + 1) – 3x(–x + 3) + 2(x 2 – x) 2 =
= x 3 + x + 3x 2 – 9x + 2(x 4 – 2x 3 + x 2) =
= x 3+ x + 3x 2 – 9x + 2x 4 – 4x 3 + 2x 2 = 2x 4 – 3x 3 + 5x 2 – 8x
b) 2 (x 2 + 3) – 2x(x – 3) + 6(x 2 – x – 1) =
= 2x 2 + 6 – 2x 2 + 6x + 6x 2 – 6x – 6 = 6x 2
c) –4x(x – 4) 2 + 3(x 2 – 2x + 3) – 2x(–x 2 + 5) =
= –4x(x 2 – 8x + 16) + 3x 2 – 6x + 9 + 2x 3 – 10x =
= –4x 3 + 32x 2 – 64x + 3x 2 – 6x + 9 + 2x 3 – 10x = –2x 3 + 35x 2 – 80x + 9

2 Multiplica y simplifica las siguientes expresiones:
a) –3x(x+ 7)2 + (2x – 1)(–3x + 2)
b) (2a 2 + a – 1)(a – 3) – (2a – 1)(2a + 1)
c) (3b – 1)(3b + 1) – (4b – 3)2 – 2(2b 2 + 16b – 16)
a) –3x(x + 7) 2 + (2x – 1)(–3x + 2) =
= –3x(x 2 + 14x + 49) – 6x 2 + 4x + 3x – 2 =
= –3x 3 – 42x 2 – 147x – 6x 2 + 7x – 2 = –3x 3 – 48x 2 – 140x – 2
b) (2a 2 + a – 1)(a – 3) – (2a – 1)(2a + 1) =
= 2a 3 + a 2 – a – 6a 2 – 3a + 3 – 4a 2 + 1 = 2a3 – 9a 2 – 4a + 4
c) (3b – 1)(3b +1) – (4b – 3) 2 – 2(2b 2 + 16b – 16) =
= 9b 2 – 1 – (16b 2 – 24b + 9) – 4b 2 – 32b + 32 =
= 9b 2 – 1 – 16b 2 + 24b – 9 – 4b 2 – 32b + 32 = –11b 2 – 8b + 22

3 Expresa como un cuadrado o como producto de dos binomios cada uno de
los siguientes polinomios:
a) 25x 2 + 40x + 16

b) 64x 2 – 160x + 100

Unidad 3. Polinomios y fracciones algebraicas

c) 4x 2 – 25

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a) 25x 2 + 40x + 16 = (5x + 4) 2
b) 64x 2 – 160x + 100 = (8x – 10) 2
c) 4x 2 – 25 = (2x – 5)(2x + 5)

4 Expresa como un cuadrado o como producto de dos binomios cada uno de
los siguientes polinomios:
a) x 4 + 4x 2 + 4

b) x 4 – 16

c) 9x 2 – 6x 3 + x 4

d) 2x 2 + 4x + 2

a) x 4 + 4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2

b) x 4 – 16 = (x 2 – 4)(x 2 + 4)

c) 9x 2 – 6x 3 + x 4 = x 2 (x – 3) 2

d) 2x 2+ 4x + 2 = 2(x + 1) 2

5 Saca factor común e identifica productos notables en cada caso:
a) 12x 3 – 3x

b) 2x 4 + 12x 3 + 18x 2

c) 45x 2 – 120x + 80

d) 3x 3 – 15x

a) 12x 3 – 3x = 3x(4x 2 – 1) = 3x(2x – 1)(2x + 1)
b) 2x 4 + 12x 3 + 18x 2 = 2x 2 (x 2 + 6x + 9) = 2x 2 (x + 3) 2
c) 45x 2 – 120x + 80 = 5(9x 2 – 24x + 16) = 5(3x – 4) 2
d) 3x 3 – 15x = 3x(x 2 – 5) = 3x (x – √5 )(x + √5 )

6 Halla elcociente y el resto en cada una de estas divisiones:
a) (3x 2 – 7x + 5) : (x 2 – x + 1)
b) (x 3 – x) : (x 2 – 1)
c) (x 3 – 3x 2 – 2) : (x 2 + 1)

| x2 – x + 1

a) 3x 2 – 7x + 5
–3x 2 + 3x – 3

3

–4x + 2

Cociente: 3
Resto: –4x + 2

b) (x 3 – x) : (x 2 – 1)
Observamos que x 3 – x = x(x 2 – 1), luego (x 3 – x) : (x 2 – 1) = x
Cociente: x
Resto: 0
c) x 3 – 3x 2
–x 3

– 2
–x

| x2 + 1
x–3

– 3x 2 – x3x 2

Cociente: x – 3
+3

–x+3
Unidad 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Resto: –x + 3

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Pág. 3

7 Calcula el cociente y el resto en cada una de estas divisiones:
a) (x 5 + 7x 3 – 5x + 1) : (x 3 + 2x )

b) (x 3 – 5x 2 + x ) : (x 2 – 1)

c) (x 3 – 5x 2 + x ) : (2x 2 – 1)
a) (x 5 + 7x 3 – 5x + 1) : (x 3 + 2x)
x 5 + 7x 3 – 5x + 1
–x 5 – 2x 3

| x 3 +2x
x2 + 5

5x 3

Cociente: x 2 + 5

– 5x 3 – 10x

Resto: –15x + 1

– 15x + 1
b) (x 3 – 5x 2 + x) : (x 2 – 1)

| x2 – 1

x 3 – 5x 2 + x
–x 3

+ x

x–5

– 5x 2 + 2x
5x 2

Cociente: x – 5
–5

Resto: 2x – 5

2x – 5
c) (x 3 – 5x 2 + x) : (2x 2 – 1)
x 3 – 5x 2 +
–x 3

| 2x 2 – 1

x

+ (1/2)x

(1/2)x – 5/2

– 5x 2 + (3/2)x
5x 2

Cociente: (1/2)x – 5/2
– 5/2

Resto: (3/2)x – 5/2

(3/2)x – 5/2

8 Halla elcociente y el resto en las siguientes divisiones:
a) (6a 3 + 5a 2 – 9a) : (3a – 2)

b) (3b 4 – 8b 3 + 9b 2 – 2b – 7) : (b 2 – b – 1)

c) (4c 5 – 2c 3 + 3c) : (c 2 – c + 2)

| 3a – 2

a) 6a 3 + 5a 2 – 9a
–6a 3 + 4a 2

2a 2 + 3a – 1

9a 2

Cociente: 2a 2 + 3a – 1

– 9a 2 + 6a

Resto: –2

– 3a
3a – 2
–2
Unidad 3. Polinomios y fracciones algebraicas

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