Unidad4_Metodos Umericos_Gaby
Páginas: 7 (1584 palabras)
Publicado: 10 de noviembre de 2015
INGENIERÍA SISTEMAS COMPUTACIONALES
Materia:
MÉTODOS NUMÉRICOS
Producto Académico:
RESUMEN, CUADRO COMPARATIVO Y PROBLEMARIO
Tema:
UNIDAD 4:
DIFERENCIACION E INTEGRACION
NUMERICA
Presenta:
Gabriela Cruz Ramírez
Docente:
ING. JAZMIN MORALES RAMON
H. Y G. TLALIXCOYAN, VER.
Resumen
Unidad 4 Diferenciación e integración numérica
4.1 Diferenciación numérica.
Ladiferenciación numérica, o aproximación por diferencias, se utiliza para evaluar las derivadas de una función por medio de sus valores dados en los puntos de una retícula. Las aproximaciones por diferencias son importantes en Ia solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Para ilustrar Ia diferenciación numérica, consideremos una función f(x). Supongamos que Se desea evaluar la primeraderivada de f(x) en x = x0. Si se conocen los valores de f en x0 - h, x0 y x0 + h, donde h es el tamaño del intervalo entre dos puntos consecutivos en el eje x, entonces se puede aproximar f' (x) mediante el gradiente de la interpolación lineal A, B o C. Estas tres aproximaciones se llaman respectivamente las aproximaciones por diferencias hacia adelante, hacia atrás y central. Sus fórmulasmatemáticas son como sigue:
Aproximación que utiliza A (aproximación por diferencias hacia adelante)
Aproximación que utiliza B (aproximación por diferencias hacia atrás)
Aproximación que utiliza C (aproximación por diferencias central)
Existen tres tipos de enfoques para obtener aproximaciones por diferencias. El primero se basa en el desarrollo de Taylor de La función alrededor de un punto de laretícula, el segundo utiliza los operadores de diferencia y el tercero deriva los po1ino míos de interpolación.
La ecuación se llama aproximación por diferencias hacia adelante con tres puntos para 17 y el error es del mismo orden que el de la aproximación por diferencias centrales.
Análogamente, La aproximación por diferencias hacia atrás con tres puntos se puede obtener utilizando f' .ñ i' yf- como sigue:
Donde
La ecuación se llama aproximación por diferencias centrales de f" y el error se representa como:
Se puede obtener otra aproximación por diferencias de f”i utilizando .1,' fe-i Y fi-2 (puesto que p = 2, el número mínimo de datos necesarios es 3). Al restar dos veces el desarrollo de Taylor de fi-1 del fi-2 se tiene:
Al despejar f' de Ia ecuación anterior setiene:
La ecuación se llama aproximación por diferencias hacia atrás de f”i Las aproximaciones por diferencias para las derivadas de orden superior se pueden obtener mediante combinaciones lineales adecuadas de los desarrollos de Taylor. Las derivadas se vuelven cada vez más complicadas al aumentar el número de puntos o el orden de las derivadas. De hecho, las aproximaciones por diferencias queaparecen en los libros tienen errores frecuentes, particularmente en los términos del error para las aproximaciones por diferencias de orden superior
4.2 Integración numérica.
Los métodos de integración numérica se pueden utilizar para integrar funciones dadas, ya sea mediante una tabla o en forma analítica. Incluso en el caso en que sea posible Ia integración analítica, la integración numérica puedeahorrar tiempo y esfuerzo si solo se desea conocer el valor numérico de la integral.
Así como integrales dobles:
Donde las funciones (x) yf(x, y) pueden estar dadas en forma analítica o mediante una tabla.
Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar los polinomios de interpolación.
Las fórmulas de Newton-Cotes, que se basan en las fórmulas de interpolación con puntos deseparación uniforme y se deducen al integrar las fórmulas de interpolación de Newton hacia adelante y hacia atrás, así como la fórmula de interpolación de Lagrange.
Las reglas del trapecio y las dos reglas de Simpson pertenecen al tipo cerrado de las fórmulas de Newton-Cotes. Las cuadraturas de Gauss, analizadas en Ia sección 4.6, se basan en La interpolación polinomial, usando Las raíces de un...
INGENIERÍA SISTEMAS COMPUTACIONALES
Materia:
MÉTODOS NUMÉRICOS
Producto Académico:
RESUMEN, CUADRO COMPARATIVO Y PROBLEMARIO
Tema:
UNIDAD 4:
DIFERENCIACION E INTEGRACION
NUMERICA
Presenta:
Gabriela Cruz Ramírez
Docente:
ING. JAZMIN MORALES RAMON
H. Y G. TLALIXCOYAN, VER.
Resumen
Unidad 4 Diferenciación e integración numérica
4.1 Diferenciación numérica.
Ladiferenciación numérica, o aproximación por diferencias, se utiliza para evaluar las derivadas de una función por medio de sus valores dados en los puntos de una retícula. Las aproximaciones por diferencias son importantes en Ia solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Para ilustrar Ia diferenciación numérica, consideremos una función f(x). Supongamos que Se desea evaluar la primeraderivada de f(x) en x = x0. Si se conocen los valores de f en x0 - h, x0 y x0 + h, donde h es el tamaño del intervalo entre dos puntos consecutivos en el eje x, entonces se puede aproximar f' (x) mediante el gradiente de la interpolación lineal A, B o C. Estas tres aproximaciones se llaman respectivamente las aproximaciones por diferencias hacia adelante, hacia atrás y central. Sus fórmulasmatemáticas son como sigue:
Aproximación que utiliza A (aproximación por diferencias hacia adelante)
Aproximación que utiliza B (aproximación por diferencias hacia atrás)
Aproximación que utiliza C (aproximación por diferencias central)
Existen tres tipos de enfoques para obtener aproximaciones por diferencias. El primero se basa en el desarrollo de Taylor de La función alrededor de un punto de laretícula, el segundo utiliza los operadores de diferencia y el tercero deriva los po1ino míos de interpolación.
La ecuación se llama aproximación por diferencias hacia adelante con tres puntos para 17 y el error es del mismo orden que el de la aproximación por diferencias centrales.
Análogamente, La aproximación por diferencias hacia atrás con tres puntos se puede obtener utilizando f' .ñ i' yf- como sigue:
Donde
La ecuación se llama aproximación por diferencias centrales de f" y el error se representa como:
Se puede obtener otra aproximación por diferencias de f”i utilizando .1,' fe-i Y fi-2 (puesto que p = 2, el número mínimo de datos necesarios es 3). Al restar dos veces el desarrollo de Taylor de fi-1 del fi-2 se tiene:
Al despejar f' de Ia ecuación anterior setiene:
La ecuación se llama aproximación por diferencias hacia atrás de f”i Las aproximaciones por diferencias para las derivadas de orden superior se pueden obtener mediante combinaciones lineales adecuadas de los desarrollos de Taylor. Las derivadas se vuelven cada vez más complicadas al aumentar el número de puntos o el orden de las derivadas. De hecho, las aproximaciones por diferencias queaparecen en los libros tienen errores frecuentes, particularmente en los términos del error para las aproximaciones por diferencias de orden superior
4.2 Integración numérica.
Los métodos de integración numérica se pueden utilizar para integrar funciones dadas, ya sea mediante una tabla o en forma analítica. Incluso en el caso en que sea posible Ia integración analítica, la integración numérica puedeahorrar tiempo y esfuerzo si solo se desea conocer el valor numérico de la integral.
Así como integrales dobles:
Donde las funciones (x) yf(x, y) pueden estar dadas en forma analítica o mediante una tabla.
Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar los polinomios de interpolación.
Las fórmulas de Newton-Cotes, que se basan en las fórmulas de interpolación con puntos deseparación uniforme y se deducen al integrar las fórmulas de interpolación de Newton hacia adelante y hacia atrás, así como la fórmula de interpolación de Lagrange.
Las reglas del trapecio y las dos reglas de Simpson pertenecen al tipo cerrado de las fórmulas de Newton-Cotes. Las cuadraturas de Gauss, analizadas en Ia sección 4.6, se basan en La interpolación polinomial, usando Las raíces de un...
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