Unidad7
Páginas: 34 (8471 palabras)
Publicado: 5 de octubre de 2015
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7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA
E J E R C I C I O S
P R O P U E S T O S
7.1 Estos dos cuadriláteros son semejantes, con razón de semejanza 3. Calcula la razón de proporcionalidad
que hay entre sus perímetros.
Se utiliza el teorema de Tales.
A’
A
Si AЈBЈϭ 3 AB; BЈCЈ ϭ BC;
B’
CЈDЈ ϭ 3 CD; DЈAЈ ϭ 3 DA
B
D’
D
C
C’
AЈBЈ ϩ BЈCЈ ϩ CЈDЈ ϩ DЈAЈ
P´
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ3
AB ϩ BC ϩ CD ϩ DA
P
7.2 Los lados de un triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros.
Dibuja otro triángulo semejante a él sabiendo que su escala debe ser de 1:2.
Escala 1:2 → Razón de semejanza: 2
Por el teorema de Tales, los lados del triángulo dado y su semejante
son proporcionales.
c
b
16 cm
Los lados del triángulo buscado son:
a ϭ 24 cm
20 cm
b ϭ 32 cm
12 cm
a
c ϭ 40 cm
7.3 En una rectar hay tres puntos, A, B y C, que distan sucesivamente 3 y 4 centímetros. Por esos puntos
se trazan rectas paralelas que cortan a la recta s en M, N y P. Si MN mide 9 centímetros, ¿cuánto mide
el segmento NP?
P
s
Se utiliza el teorema de Tales.
3
4
Razón de semejanza: ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
9
NP
N
9
Por tanto, NP ϭ 12 cm
cm
M
3 cm
A
7.4 Considera los triángulos ABC y DEF.
Halla la longitud del lado DF yla medida del
ángulo Fp de manera que ambos triángulos sean
semejantes.
¿Qué criterio de semejanza has utilizado?
La razón de semejanza para lados homólogos ha de ser:
4 cm
B
r
C
B
2 cm
40°
A
C
3 cm
3 cm
EF
DF
ᎏᎏ ϭ 1,5 ⇒ ᎏᎏ ϭ 1,5 ⇒ DF ϭ 4,5 cm.
BC
AC
Utilizando el tercer criterio de semejanza de triángulos, si ABC
y DEF son semejantes:
Fp ϭ Cp ϭ 40Њ
122
E
D
F
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7.5 Utiliza los criterios de semejanza para explicar si las siguientes frases son verdaderas o falsas.
a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes.
c) Si dos triángulos isósceles tienen el mismo ángulo desigual, entonces son semejantes.
a) Verdadera. Los triángulos equiláteros tienen los tres lados iguales y, por tanto,los tres ángulos. Cumple el primer criterio de
semejanza de triángulos.
b) Falsa. Por ser triángulos rectángulos, solo sabemos que tienen un ángulo igual. No cumplen ningún criterio de semejanza.
c) Verdadera. Un triángulo, por ser isósceles, tiene dos lados iguales y, por ello, dos ángulos también iguales.
Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo igual, los otros dos también tienen que seriguales. Cumplirían el primer criterio de
semejanza.
7.6 El área de un triángulo ABC mide 128 m2. ¿Cuál será el área de un triángulo semejante AЈBЈCЈ cuyos
lados midan la mitad?
B
Los triángulos ABC y AЈBЈCЈ son semejantes.
1
Razón de semejanza del menor al mayor: ᎏᎏ
2
1
Razón de áreas: ᎏᎏ
2
2
Área = 128 cm3
1
ϭ ᎏᎏ
4
B’
A
C
A’
C’
Área del nuevo triángulo: 128 Ϻ 4 ϭ 32 cm2
7.7 De dostriángulos semejantes se sabe que en el primero, uno de sus ángulos mide 35؇, y en el segundo,
otro mide 55؇. ¿Qué clase de triángulos son?
Si los triángulos son semejantes, tenemos 2 ángulos iguales, uno de 35Њ y otro de 55Њ. Si sumamos estos dos ángulos, el
tercero valdrá 90Њ, por lo cual se tratará de triángulos rectángulos.
7.8 El árbol de la figura está sujeto con dos cuerdas, de manera que eltriángulo ABC es rectángulo. Halla
la altura del árbol y su distancia al punto C.
Utilizando el teorema de Pitágoras:
(BC )2 ϭ d 2 ϩ h2, siendo d ϭ (50 Ϫ 18) ϭ 32 m
Si aplicamos el teorema de la altura:
h2 ϭ 18 и d ϭ 18 и 32 ϭ 576 ⇒ h ϭ 24 m
7.9 Halla el área y el perímetro del triángulo de la figura.
Puesto que el valor de la base es de 20 cm, se puede calcular m ϭ 9,6 cm.
Aplicando el teoremade la altura, h2 ϭ m и n ϭ 9,6 и 10,4 ⇒ h ϭ 9,99 cm
C
20 и 9,99
El área pedida es: A ϭ ᎏᎏ ϭ 99,92 cm2
2
a
aϭ
h ϩ mෆ ϭ 13,85 cm
͙ෆ
2
2
bϭ
ϩ nෆ ϭ 14,42 cm
͙hෆ
2
2
B
b
h
Se aplica Pitágoras para calcular los valores de a y b.
m
10,4 cm
20 cm
A
Por tanto, el perímetro P ϭ 48,27 cm
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7.10 Expresa en grados los siguientes ángulos.
c) ——...
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7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA
E J E R C I C I O S
P R O P U E S T O S
7.1 Estos dos cuadriláteros son semejantes, con razón de semejanza 3. Calcula la razón de proporcionalidad
que hay entre sus perímetros.
Se utiliza el teorema de Tales.
A’
A
Si AЈBЈϭ 3 AB; BЈCЈ ϭ BC;
B’
CЈDЈ ϭ 3 CD; DЈAЈ ϭ 3 DA
B
D’
D
C
C’
AЈBЈ ϩ BЈCЈ ϩ CЈDЈ ϩ DЈAЈ
P´
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ3
AB ϩ BC ϩ CD ϩ DA
P
7.2 Los lados de un triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros.
Dibuja otro triángulo semejante a él sabiendo que su escala debe ser de 1:2.
Escala 1:2 → Razón de semejanza: 2
Por el teorema de Tales, los lados del triángulo dado y su semejante
son proporcionales.
c
b
16 cm
Los lados del triángulo buscado son:
a ϭ 24 cm
20 cm
b ϭ 32 cm
12 cm
a
c ϭ 40 cm
7.3 En una rectar hay tres puntos, A, B y C, que distan sucesivamente 3 y 4 centímetros. Por esos puntos
se trazan rectas paralelas que cortan a la recta s en M, N y P. Si MN mide 9 centímetros, ¿cuánto mide
el segmento NP?
P
s
Se utiliza el teorema de Tales.
3
4
Razón de semejanza: ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
9
NP
N
9
Por tanto, NP ϭ 12 cm
cm
M
3 cm
A
7.4 Considera los triángulos ABC y DEF.
Halla la longitud del lado DF yla medida del
ángulo Fp de manera que ambos triángulos sean
semejantes.
¿Qué criterio de semejanza has utilizado?
La razón de semejanza para lados homólogos ha de ser:
4 cm
B
r
C
B
2 cm
40°
A
C
3 cm
3 cm
EF
DF
ᎏᎏ ϭ 1,5 ⇒ ᎏᎏ ϭ 1,5 ⇒ DF ϭ 4,5 cm.
BC
AC
Utilizando el tercer criterio de semejanza de triángulos, si ABC
y DEF son semejantes:
Fp ϭ Cp ϭ 40Њ
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E
D
F
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7.5 Utiliza los criterios de semejanza para explicar si las siguientes frases son verdaderas o falsas.
a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes.
c) Si dos triángulos isósceles tienen el mismo ángulo desigual, entonces son semejantes.
a) Verdadera. Los triángulos equiláteros tienen los tres lados iguales y, por tanto,los tres ángulos. Cumple el primer criterio de
semejanza de triángulos.
b) Falsa. Por ser triángulos rectángulos, solo sabemos que tienen un ángulo igual. No cumplen ningún criterio de semejanza.
c) Verdadera. Un triángulo, por ser isósceles, tiene dos lados iguales y, por ello, dos ángulos también iguales.
Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo igual, los otros dos también tienen que seriguales. Cumplirían el primer criterio de
semejanza.
7.6 El área de un triángulo ABC mide 128 m2. ¿Cuál será el área de un triángulo semejante AЈBЈCЈ cuyos
lados midan la mitad?
B
Los triángulos ABC y AЈBЈCЈ son semejantes.
1
Razón de semejanza del menor al mayor: ᎏᎏ
2
1
Razón de áreas: ᎏᎏ
2
2
Área = 128 cm3
1
ϭ ᎏᎏ
4
B’
A
C
A’
C’
Área del nuevo triángulo: 128 Ϻ 4 ϭ 32 cm2
7.7 De dostriángulos semejantes se sabe que en el primero, uno de sus ángulos mide 35؇, y en el segundo,
otro mide 55؇. ¿Qué clase de triángulos son?
Si los triángulos son semejantes, tenemos 2 ángulos iguales, uno de 35Њ y otro de 55Њ. Si sumamos estos dos ángulos, el
tercero valdrá 90Њ, por lo cual se tratará de triángulos rectángulos.
7.8 El árbol de la figura está sujeto con dos cuerdas, de manera que eltriángulo ABC es rectángulo. Halla
la altura del árbol y su distancia al punto C.
Utilizando el teorema de Pitágoras:
(BC )2 ϭ d 2 ϩ h2, siendo d ϭ (50 Ϫ 18) ϭ 32 m
Si aplicamos el teorema de la altura:
h2 ϭ 18 и d ϭ 18 и 32 ϭ 576 ⇒ h ϭ 24 m
7.9 Halla el área y el perímetro del triángulo de la figura.
Puesto que el valor de la base es de 20 cm, se puede calcular m ϭ 9,6 cm.
Aplicando el teoremade la altura, h2 ϭ m и n ϭ 9,6 и 10,4 ⇒ h ϭ 9,99 cm
C
20 и 9,99
El área pedida es: A ϭ ᎏᎏ ϭ 99,92 cm2
2
a
aϭ
h ϩ mෆ ϭ 13,85 cm
͙ෆ
2
2
bϭ
ϩ nෆ ϭ 14,42 cm
͙hෆ
2
2
B
b
h
Se aplica Pitágoras para calcular los valores de a y b.
m
10,4 cm
20 cm
A
Por tanto, el perímetro P ϭ 48,27 cm
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13:28
Página 124
7.10 Expresa en grados los siguientes ángulos.
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