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Unidad II. Estructuras Algebraicas                                                             Operaciones y Relaciones
Teoría de grafos 2­2010                                                                                      UNEFA­Núcleo Mérida 
Estructuras Algebraicas 
Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria. 
Operación Binaria
Se conoce una operación binaria aquella que al operar dos números (de ahí su nombre) se obtiene un 
tercero.
Ejemplo:  El símbolo “+” representa la operación binaria de suma; ahora para la operación binaria 
específica de 3 + 5 = 8.
Se puede definir formalmente una operación binaria de la siguiente manera: Una operación binaria (*) en un conjunto A es una regla que asigna a cada para ordenado de elementos (a1, a2) un elemento “b”. 
Esto   equivale   a   decir   que   la   operación   binaria   de   los   elementos   que   pertenecen   al   conjunto   A 
(dominio), generan al conjunto B (codominio).
Las   operaciones   binarias   corresponden   sólo   a   la   suma   y   la   multiplicación,   ya   que   al   efectuar   las funciones división y resta, se obtienen números que no pertenecen al conjunto de los números naturales 
y que por tanto están fuera del conjunto sobre el cual se define la operación.
Propiedades de las operaciones binarias
1.­ Cerrada: Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ b ∈ S 
Ejemplos:
a.­ En el conjunto de los números enteros Z; la suma (*) es una operación interna ya que todo par ordenado (a,b) se le puede asignar otro valor, el cual también pertenece a los números enteros Z. 
b.­Considere la operación de suma, +, para el conjunto A formado por los elementos {0, 1, 2, 3, 4}.
Esta   operación  para   los   elementos  del   conjunto  “A”  NO  ES  CERRADA   bajo  la   suma,   o  en   otras 
palabras no es una operación interna; ya que la operación de suma puede generar números fuera del 
conjunto A.c.­ Considere * como la operación suma (+) definida en el conjunto de loa números enteros. Para los 
siguienetes casos, ¿las operaciones son cerradas (internas)?
                                        * (2,4)   → 2 * 4 = 6         
                                        * (6, ­5)   → 6 * ­5  = 1
Rpta: Sí son cerradas pues el resultado de las operaciones es un número que pertenece al conjunto Z.d.­ En el conjunto de los números naturales N; la resta (*) no es una operación interna ya que todo par 
ordenado (a,b) no se le puede asignar otro valor, el cual también pertenece a los números naturales N.
                                        * (4,2)   → 4 * 2 = 2         
                    * (6, 8)   → 6 * 8  = ­2

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­2   no   pertenece  a  N.  Por  tanto  la  resta no  es  una  operación  interna  del  conjunto  de los   números 
naturales N.
2.­ Conmutativa: Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ b = b ∗ a 
Ejemplo:
Si se considera el par ordenado (­3,2) 
Debe cumplirse que: ­32 + 22 = 22 + ­32                                      9 + 4 = 4 + 9 
                                         13  =   13 CUMPLE 
3.­ Asociativa: Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c 
Ejemplo: Identificar si para el conjunto de los enteros, la operación binaria de suma definida como a+b 
es asociativa.
Solución:                                               
Debe cumplirse que:                              a +( b + c ) = (a + b) + c1 +( 2 + 3) = (1 + 2 ) +3
1+(5)=(3)+3
                6=6 CUMPLE
4.­ Elemento neutro: Si e ∈,  ∀ a ∈ S ⇒ a ∗ e = a y e ∗ a = a 
El elemento e es un “elemento neutro” puesto que si es aplicado a la izquierda o aplicado a la derecha 
del otro operando, no se altera el valor de a.
Ejemplos:
a.­ Elemento neutro de la suma...