Union de conjuntos

Unión de conjuntos
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los número impares positivos I:
P = {2, 4, 6, ...}
I = {1, 3, 5, ...}
N = {1, 2,3, 4, 5, 6, ...}
La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.
Definición
Dados dos conjuntos A y B, la unión de ambos, A ∪ B, es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B:
La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B: |
Ejemplo.
* Sean A = {a, ♠, 5} y B = {8, #}. La uniónes A ∪ B = {5, #, a, ♠, 8}.
* Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D = {m: m es un número compuesto}. La unión es entonces (C ∪ D) = {n: n es primo o compuesto} = {2, 3, 4, 5, ...}, ya que el único número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.
En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues losconjuntos no pueden tener elementos repetidos:[n 1]
* La unión de {1, 2, 3, 4, 5} y {6, 2, 9, 1} es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}.
Propiedades
De la definición de unión puede deducirse directamente:
* Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :A ∪ A = A * Tanto A como B son subconjuntos de su unión:A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B * La unión de un conjunto A con unsubconjunto suyo B lo deja inalterado:B ⊆ A implica que A ∪ B = A |
La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:
* Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) * Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A :A ∪ B =B ∪ A. * Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:A ∪ ∅ = A |
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.
En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas:
Propiedad distributiva * A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto: * A ∪ (A ∩ B) = A * A ∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto: * A ∩ (A ∪ B) = A |
Intercepcionde conjunto
En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de loscuadrados pares D :
P = {2, 4, 6, 8, 10,...}
C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}
D = {4, 16, 36, 64, ...}
La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.
Definición
Dados dos conjuntos A y B, la intersección de ambos, A ∩ B es un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:
LA intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyoselementos son los elementos comunes a A y B : |
Ejemplo.
* Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.
* Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512,...}.
* Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.
Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:
Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío: |
Propiedades
De la definición de intersección puede deducirse...