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Regla de Cramer
El siguiente problema será resuelto por la regla de Cramer. Esta regla recibe su nombre en honor del matemático suizo Gabriel Cramer. Esta regla fue publicadaen 1750 por el mismo en su libro “Introduction ti the analysis of lines of algebraic Curves”. Aunque de hecho existe evidencia que sugiere que Colin Maclaurin conocía la regla desde 1729. Estaregla es uno de los resultados más conocidos en la historia de las matemáticas. Durante casi 200 años fue fundamenta. En la enseñanza del algebra y de la teoría de ecuaciones. Debido al grannumero de cálculos requeridos, se usa muy poco en la actualidad. Sin embargo el resultado fue muy importante en su tiempo.
La regla estipula que: Sea A una matriz de orden (n x n) y suponga quedet A es diferente de 0. Entonces la solución al sistema Ax=b está dada por

X1= D1D,X2= D2D,…,Xi= DiD,…,Xn= DnD, |

Demostración:
La solución a Ax=b es X= A^-1 b. Pero
A-1b=1DadjAb=1DA11A21An1A12A22An2A1nA2nAnnb1b2⋮bn

Ahora bien, (adj A) b es un n-vector cuya componente “j” es

A1j A2j…Anj.b1b2⋮bn=b1Aij+b2A2j+…+bnAnj

Considere la matriz Aj:Aj=a11a21an1a12b1a1na22b2a2nan2bnann

Columna j
Si se expande el determinante de Aj respecto a su columna j, se obtiene
Dj=b1cofactor de b1+b2cofactor de b2+…+bn(cofactor de bn)
Pero para encontrar elcofactor de bi, por ejemplo, se elimina el renglón i y la columna j de Aj (ya que bi está en la columna de j de Aj). Pero la columna j de Aj es b, y si se elimina se tendrá simplemente el menor ij,Mij, de A. Entonces;
Cofactor de bi en Aj=Aij
De manera que (7) se convierte en;
Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj
Pero esto es lo mismo que el lado derecho de (5). Por lo tanto la componente i de (adjA)b es Di, y se tiene:

x=X1X2⋮Xn=A-1b=1Dadj Ab=1DD1D2⋮Dn=D1DD2D⋮Dn/D

“Y la prueba queda completa”

Bibliografía:
Algebra lineal, Stanley I Grossman 5ª edición, ed McGrawhill (2003)