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ANTIDERIVADAS

La antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es quesea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existeun número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dichoconjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

∫f   ó   ∫f(x)dx

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso dela derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integralesdefinidas de numerosas funciones.

Sabemos que la derivada es la pendiente de la función en cualquier punto (x, y) de esta, luego tenemos como dato dado por el problema que 
dy/dx = 3x²y 
y entonces y.dy = 3x².dx 
Si integramos a ambos lados resulta 
∫ y.dy = ∫ 3x².dx 
½.y² + C1 = x³ + C2 
½.y² = x³ + (C2 - C1) 
½.y² = x³ + C3 
y² = 2(x² + C3) 
y² = 2x³ + 2C3 
y² = 2x³ + C 
y = ± √(2x³ +C) 

Esta es la ecuación de la familia de curvas buscada. De esta familia, la curva que pasa por (0, 8) es: 
8 = ± √[ 2(0³) + C ] 
8 = ± √[ 2(0) + C ] 
8 = ± √(0 + C) 
8 = ± √C 
8² = (± √C)² 64 = C 
Así, la curva particular es 
y = ± √(2x³ + 64)



REGLAS PARA ANTIDERIVAR

Una vez con estas fórmulas básicas de integración, si no percibimos de inmediato como atacar una integralespecífica, podemos entonces seguir la estrategia de cuatro pasos que describiremos a continuación:

1. SIMPLIFIQUE EL INTEGRANDO, SI ES POSIBLE 
A veces, si se emplea el álgebra o identidades...