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Ecuación diferencial lineal[editar]
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
 es una ecuacióndiferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
Usos[editar]
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas dela ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de laestructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura,x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
La vibración de una cuerda está descrita por la siguienteecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

donde  es el tiempo y  es la coordenada del punto sobre la cuerda y  una constante que corresponde a la velocidad de propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
Tipos de soluciones[editar]
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso conlas derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.
Solución general[editar]
Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dosconstantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de  ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
1. Solución particular: Si fijandocualquier punto  por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición inicial.
Solución particular[editar]
Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (oconstantes) recibe un valor específico.
1. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.
Solución singular[editar]
Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.

Ecuaciones lineales Las ecuaciones lineales constituyen uno de los tipos m´as importantes de ecuaciones diferenciales. Definici´on 6Una ecuaci´on diferencial lineal es una ecuaci´on en la que la derivada de orden superior es una expresi´on lineal de la funci´on y sus otras derivadas de orden inferior 3 ; esto es, d ny dx n + fn−1(x) d n−1y dx n−1 + . . . + f1(x) dy dx + f0(x)y + f(x) = 0 Se denomina ecuaci´on homog´enea asociada a la ecuaci´on lineal (que se llama entonces completa) a d ny dx n + fn−1(x) d n−1y dx n−1 + . . ....