universitario

Tema 4.- Procesos Estoc´asticos
1. Consideremos el proceso aleatorio X(t) = At + B donde A es una variable aleatoria que toma los
valores 3 y 4 conprobabilidades 1
4
y
3
4
, respectivamente y B es una variable aleatoria con funci´on de
probabilidad:
P(B = 1) = P(B = 2) = 1
2
A y B son variables aleatoriasindependientes.
(a) Halla la distribuci´on de probabilidad de X(0) y su esperanza y varianza.
(b) Dibuja las realizaciones del proceso y calcula la probabilidadde cada una.
(c) Obt´en la media y varianza del proceso.
(d) Determina la distribuci´on conjunta de X(1) y X(2) y sus distribuciones marginales. ¿sonindependientes X(1) y X(2)?
(e) Calcula E[X(1) · X(2)]
(f) Calcula la autocorrelaci´on RX(t1, t2)
(g) Calcular la autocovarianza CovX(t1, t2)
2. Sea (A, B) una v.a.bidimensional con distribuci´on normal, cuyo vector de medias es
1
1

y cuya
matriz de covarianzas es
2 1
1 2 !
.
Se construye el proceso X(t) = Acos(t) + B.
a) Calcula la media y la autocorrelaci´on de X(t).
b) Calcula las distribuciones de primer y segundo orden del proceso.
3. Sea X(t) (t > 0) unproceso normal con E[X(t)] = 0 y RX(t1, t2) = m´ın{t1, t2}
a) Calcula las distribuciones de primer y segundo orden.
b) Calcula P(X(2) + 2X(1) > 1)
c) Obt´en ladistribuci´on de (X(t1), X(t2) − X(t1)) con t2 > t1 ¿Qu´e se puede deducir de este
resultado?
4. El n´umero de llamadas que se reciben por una determinada linea encada intervalo de tiempo [0, t] es
un proceso de Poisson X(t) con tasa λ > 0. Sea t1 < t2.
a) Calcula P[X(t1) = 2, X(t2) = 1], P[X(t1) = 1, X(t2) = 2].