Universitario

Problema 1 : (2,0 puntos) Resuelva la ecuaci´n integral
t

1+t=
0

f (τ ) √ dτ t−τ

Recuerde que: Γ(α + 1) L(tα ) = para s> 0 y α > −1 α+1 √ s 1 Γ( 2 ) = π, Γ(n + 1) = nΓ(n). Problema 2 : a) (1,2 puntos) Sea k un par´metro real. Considere el problema a  X (x) − kX(x) = 0 X(0) = 0  X (π) = 0 2 Demuestre que las unicas soluciones no triviales de este problema son para k = −(1 +2n)2 con ´ n ≥ 0 entero. b) (0,8 puntos) Considere el problema  2 ∂2u  ∂ u  = ; 0 ≤ x ≤ π; t ≥ 0 2 ∂t2 ∂x2 ∂u π   u(0, t) = ( , t)= 0 ∂x 2 Utilice el m´todo de separaci´n de variables (y el resultado de la parte a) para encontrar una e o expresi´n para lasoluci´n general de este problema. o o Problema 3 : (2,0 puntos) Determine una soluci´n general del sistema o   2 1 −2 x (t) =  −1 0 0 x(t) 0 2 −2 Sugerencia: pruebe primero que el polinomio caracter´ ıstico de la matriz es p(r) = (2 − r)(r + 1)2 . Problema 4 :Considere la ecuaci´n diferencial o (x − x2 )y − 3y + 2y = 0 o a) (0,2 puntos) Pruebe que x = 0 es un punto singular regular de laecuaci´n. b) (0,2 puntos) Encuentre los ´ ındices de la singularidad en x = 0. c) (1,6 puntos) Use el m´todo de Frobenius paraencontrar la soluci´n correspondiente al mayor de e o los ´ ındices. (Entregue una f´rmula para el t´rmino general de la serie). o e