universitario

Ejercicio 1.1
Encuentre el valor de

,

D

,

B

θA θ

θ y Δc para la siguiente viga:
60 KN

2.0 m.

40 KN

1.0 m.
4.0 m.

•

Como primer paso se construye los diagramas de cortante y momento de la viga

real.

∑M

A

= 0 = −60 ⋅ 2 − 40 ⋅ 3 + RD ⋅ 4

→

RD = 60 KN

14

∑F
•

y

= 0 = −60 − 40 + 60 + R A

→

R A = 40 KN

Conocido el diagrama demomentos de la viga real se procede a cargar la viga

conjugada con el diagrama M/EI, Se deben tener en cuenta las condiciones de apoyo
que tendrá la viga conjugada. Analizando la viga real, tanto el apoyo A como en el
apoyo D son apoyos simples los cuales permiten que los extremos roten. Estas
rotaciones son cortantes en la viga conjugada y se representan como apoyos simples.
80
EI
60
EIRD =θ D

RA = θ A

•

Cálculo de θA y θD:

La rotación en el nodo A y en el nodo D son iguales a las reacciones en el punto A ( R A )
y en el punto D ( RD ) de la viga conjugada, éstas se calculan aplicando en el diagrama
de cuerpo libre de la viga conjugada las ecuaciones básicas de equilibrio.
Para facilitar los cálculos se divide el diagrama M/EI en 4 secciones y se calcula elvalor
de la fuerza de cada sección y su punto de aplicación con respecto al nodo B.

15

2

3
1

4
X1
X2
X3
X4

Sección

Figura

Fuerza (Rad.)

Punto de Aplicación (m)*

↓ F1 =

1
80
80
⋅ (2)( ) =
2
EI
EI

2

↓ F2 =

1
20
10
⋅ (1)( ) =
2
EI
EI

X 2 = 1.67

3

↓ F3 = (1)(

60
60
)=
EI
EI

X 3 = 1.5

4

↓ F4 =

1

1
60
30
⋅ (1)( ) =2
EI
EI

X 1 = 2.67

X 4 = 0.67

* Las distancias Xi son medidas desde el apoyo D hasta la posición de la resultante Fi

∑M

D

= (2.67) ⋅ (

RA = θ A =

∑F

y

80
10
60
30
) + (1.67) ⋅ ( ) + (1.5) ⋅ ( ) + (0.67) ⋅ ( ) − 4 ⋅ ( R A ) = 0
EI
EI
EI
EI

85.1 85.1
=
= 8.51x10 −3 rad
EI 10000

10
60
30 ⎤
⎡ 80
= − ⎢( ) + ( ) + ( ) + ( )⎥ + 8.51x10 −3 + ( RD ) =0
EI
EI
EI ⎦
⎣ EI

R D = θ D = 9.49 x10 −3 rad

16

•

Cálculo de θB:

La rotación en el punto B de la viga real ( θB ) es igual al cortante en el punto B de la
viga conjugada ( VB ). Para esto se analiza el diagrama de cuerpo libre de la viga
conjugada a la izquierda del punto B:

F1

VB

1

MB

2 .0 m .

RA

∑F

y

= R A − F1 + VB = 0

⎛ 80 ⎞
V B = ⎜ ⎟ − R A= 8.0 x10 −3 − 8.51x10 −3 = −5.1x10 − 4 rad .
⎝ EI ⎠

V B = θ B = −5.1x10 −4 rad .
•

Cálculo de ∆C:

La deflexión en el punto C de la viga real (∆C ) es igual al momento en C de la viga
conjugada ( M C ). Para esto se analiza el diagrama de cuerpo libre de la viga conjugada
a la derecha del punto C:

17

F4
VC
MC

4
1.0 m .

∑M

C

D

1
= M C − F4 + 1 ⋅ ( RD ) = 0
3M C = ΔC =

1 ⎛ 30 ⎞
−3
−3
⋅⎜
⎟ − 1 ⋅ (9.49 x10 ) = 8.49 x10 rad
3 ⎝ 10000 ⎠

El signo positivo indica que la deflexión es hacia abajo (negativa).

Ejercicio 1.2
Calcular las deflexiones y rotaciones en los puntos B y C de la siguiente viga:

P
I

2I
MA
RA
•

B

C

A

3/4 L

L/4

Inicialmente se calcula el diagrama de cortante y de momento de la viga:

18V [KN]
P
(+)

Diagramas de Cortantes

X [m]

M [KN-m]

0

X [m]

(-)

PL

•

Diagramas de Momento

Antes de cargar la viga conjugada con el diagrama M/EI es importante tener en
cuenta que el segmento AB de la viga real presenta una inercia 2I, lo cual hace
que el diagrama original de momento se reduzca a la mitad en este tramo.

•

También es importante analizar lascondiciones de apoyo que presenta la viga
real. El apoyo A se encuentra empotrado, impidiendo así la rotación y la deflexión
del nodo. Este apoyo se representa en la viga conjugada como un apoyo libre.
Caso contrario se da en el apoyo C de la viga real, el cual es un apoyo libre que
permite la rotación y deflexión del nodo, convirtiéndose en un empotramiento en la
viga conjugada.

19

PL...