Universitario

Algebra Booleana

Seccion 1

Ing Ankises García

Álgebra de Boole
Introducción
Algunas veces el reconocimiento a la obra de un autor no llega hasta después de su muerte. Todos conocemos el caso del pintor impresionista Van Gogh, que en vida sólo vendió un dibujo y un cuadro y, unos años después de su muerte, recibe el reconocimiento merecido encontrándose algunos de sus cuadros entre losmás caros del mundo. Así ocurre también con George Boole (1815-1864) que poco se pudo imaginar el impacto que tendría su trabajo en el mundo tecnológico un siglo después. Aunque tuvo trabajos matemáticos en varios campos, hoy es recordado por un trabajo en el cual intentaba formalizar las leyes del pensamiento mediante un sistema aritmético-lógico. Para ello desarrolló un álgebra que hoy conocemoscomo Álgebra de Boole. Ese trabajo, plasmado en el libro titulado Investigation of the Laws of Thought, pasó un siglo sin demasiada aplicación práctica hasta que en 1938 Claude Shannon demuestra que las operaciones básicas del álgebra booleana pueden ser representadas mediante circuitos eléctricos y que la combinación de varios de estos circuitos podría representar operaciones lógicas complejas.Hoy en día el Álgebra de Boole resulta imprescindible en muchas aplicaciones prácticas, especialmente en la informática y en la electrónica. Desde un moderno ordenador personal hasta un simple cruce de semáforos, un moderno autómata programable o un automatismo eléctrico basan su funcionamiento en dicho álgebra.

Operaciones del álgebra de Boole
Un álgebra de Boole es un sistema matemáticodeductivo centrado en los valores bien diferenciados que se suelen asignar a los números 0 y 1 de un código binario. Dichos elementos están relacionados mediante dos operaciones binarias denominadas suma lógica (+) y producto lógico (·) Estas dos operaciones no tienen nada que ver con las operaciones suma y producto que todos conocemos ¡No debemos confundirlas! Operación suma (+) Esta operación sedefine mediante la siguiente tabla: a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 a+b 0 1 1 1

Las tres primeras operaciones son similares a la suma aritmética con la que estamos acostumbrados a trabajar. Sin embargo la expresión 1 + 1 = 1 nos resulta extraña. Hemos de recordar que no estamos realizando la suma aritmética, sino una suma lógica que representamos mediante el mismo signo (+).
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Operación Producto (·) Esta operación se define mediante la siguiente tabla: a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 a·b 0 0 0 1

En este caso, la operación es más intuitiva, puesto que es igual al producto de números reales. El resultado es 1 sólo cuando las dos variables son 1. Operación Negación La operación negación nos permite obtener el estado complementario de una variablebooleana. Se define de la siguiente manera: a a 0 1 1 0 La variable a se encuentra siempre en un estado binario opuesto al de a.

Propiedades Del Álgebra De Boole
Las principales propiedades del álgebra de Boole son: Se dice que un operador binario es conmutativo si, para todos los posibles valores de a y b, verifica: a+b=b+a a·b= b·a . Dos operadores binarios (+) y (·) son distributivos sipara todos los valores posibles de a, b, y c verifica: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) a + b · c = (a + b) · (a + c) . Posee dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad identidad con respecto a la suma y producto lógico: 0+ a = a 1· a = a . Un valor booleano a es un elemento inverso con respecto a un operador booleano si cumple: a+a = 1 a.a =0
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Teoremas Del Álgebra De Boole
Cada identidad deducida de los anteriores postulados del álgebra de Boole permanece válida si la operación (+) y (·) y los elementos «cero» y «uno» se intercambian entre sí. Este principio, llamado de dualidad, se deduce inmediatamente de la simetría de los cuatro postulados con respecto a ambas operaciones y ambos elementos neutros....