Universitario

3. Sistemas de ecuaciones lineales (2 x 2)

3.1 Propiedades de la recta
En la presente secci´n se har´ un breve repaso referente a las propiedades de la recta:
o
a
Si una recta cruza por los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) esta tendr´ una pendiente dada por:
a

m=

y2 − y1
x2 − x1

si x2 = x1

(1)

Si x2 − x1 = 0 y y2 = y1 , entonces la recta es vertical y se dice que lapendiente es indefinida.
Si la recta es paralela al eje x. Es decir, horizontal su pendiente sera igual a cero.
Cualquier recta (excepto una de pendiente indefinida) se puede escribir de la forma y = mx + b, donde
m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del corte de la recta con el eje y el cual se produce en el
punto (0, b).
Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.
Sim1 es la pendiente de la recta L1 , m2 es la pendiente de la recta L2 y adicionalmente L1 y L2 son
1
perpendiculares, entonces m2 = − m1 cuando m1 = 0
3.2 Sistemas lineales de dos ecuaciones y dos inc´gnitas
o
Consideremos el sistema:
a11 x

+

a12 y

=

b1

(2)

a21 x

+

a22 y

=

b2

(3)

1

donde a11 , a12 , a21 y a22 son n´meros dados, naturalemnte cada unade las ecuaciones (2) y (3) describe una
u
recta y el sistema tendr´ una soluci´n dada por la intersecci´n sim´ltanea de las dos rectas, en caso de que
a
o
o
u
las rectas sean paralelas el sistema no tiene soluci´n ´ si por el contrario las dos rectas coinciden (es decir, se
oo
sobreponen) el sistema tiene infinitas soluciones.
Teorema (Existencia o no de soluciones en un sistema (2 x 2)):El sistema descrito en (2) y (3):

a11 x

+

a12 y

=

b1

(2)

a21 x

+

a22 y

=

b2

(3)

de dos ecuaciones con dos inc´gnitas x e y , cumple alguna de las siguientes propiedades:
o
i) Tiene soluci´n unica si y solo si (a11 a22 − a12 a21 ) = 0
o´
ii) Si las rectas generadas por (2) y (3) son paralelas. Es decir, el sistema no tiene soluci´n entonces
o
(a11 a22 −a12 a21 ) = 0
Demostraci´n:
o
i) Para demostrar esta afirmaci´n se deben considerar diversos casos:
o
Si a12 = 0, entonces la ecuaci´n (2) se reescribe como:
o
a11 x + a12 y =

b1

a11 x + 0y =

b1

a11 x =

b1

→

x=

b1
a11

y con este valor de x se reemplaza en la ecuaci´n (3) para hallar el valor de y y finalmente resolver
o
el sistema. Dada la sencillez de esteprocedimiento se considerar´ este caso como trivial.
a
Si a22 = 0, entonces la ecuaci´n (3) se reescribe como:
o

a21 x + a22 y =

b2

a21 x + 0y =

b2

a21 x =

b2

→

x=

b2
a21

y con este valor de x se reemplaza en la ecuaci´n (2) para hallar el valor de y y finalmente resolver
o
el sistema. Dada la sencillez de este procedimiento se considerar´ este caso como trivial.
aSi a12 = a22 = 0 entonces el sistema de ecuaciones se transforma en:

a11 x + a12 y =

b1

⇒

a11 x = b1

⇒

a21 x + a22 y =

b2

⇒

a21 x = b2

⇒

b1
a11
b2
x=
a21
x=

Estas expresiones generan dos rectas verticales que desde luego solo representar´n una soluci´n si
a
o
coinciden esto es si son la misma recta. Po lo cualse considerar´ este caso tambien comotrivial.
a
Los casos antes considerados nos permiten afrirmar que a12 y a22 son diferentes de cero. Por tanto,
es posible multiplicar la ecuaci´n (2) por a22 y la ecuaci´n (3) por a12 . Esto es
o
o

2

a11 x + a12 y =

b1

⇒

a11 a22 x + a12 a22 y = b1 a22

(4)

a21 x + a22 y =

b2

⇒

a12 a21 x + a12 a22 y = b2 a12

(5)

Restando la expresion (5) de la (4) se obtienea11 a22 x − a12 a21 x =

b1 a22 − b2 a12

(a11 a22 − a12 a21 )x =

b1 a22 − b2 a12

Si en esta expresion se toma (a11 a22 − a12 a21 ) = 0 se obtiene:
b1 a22 − b2 a12
a11 a22 − a12 a21

x=

y por tanto bastar´ con reemplazar con este valor de x en cualquiera de las ecuaciones (2) ´ (3) para
ıa
o
despejar el valor de y solucionando el sistema. Luego, si (a11 a22 − a12 a21 ) = 0 el...