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Respuestas final de Matematica I del 18 de diciembre 2013

1. Sea la matriz
a) Calcular el rango de A.
Se observan solo dos columnas y son linealmente independientes (no son múltiplosescalares entre si); luego, el rango de A es 2.
b) Hallar una base del subespacio generado por los vectores fila de A, y su dimensión.
Como la dimensión del subespacio fila de A es el rango de A, unabase de dicho subespacio debe tener exactamente 2 vectores; por lo tanto elijo 2 vectores fila l.i. Rta: una base del subespacio es {(1,-1),(2,-1)};su dim=2.

2. a) Hallar una base del subespacio desoluciones del siguiente sistema lineal:

; resulta y=-z, x=2z. Rta: una base del subespacio de soluciones es {(2,-1,1)}
b) Hallar otra base del subespacio del inciso a).
Rta: otraposible base es {(4,-2,2)}

3. a) Mostrar que los vectores
constituyen una base de R3.

Como son 3 vectores de R3 solo hay que mostrar que efectivamente son l.i. (no es necesario mostrar quegeneran todo R3). El determinante de la matriz que ellos forman es , es decir, los vectores dados son l.i. Luego, constituyen una base de R3.


b) Escribir al vector como combinación lineal dedicha base.
Rta: (1,0,3)=0.(1,1,2)+0.(2,1,0)+1.(1,0,3).

4. Resolver el siguiente sistema no lineal y representar gráficamente:
x2 + (y+1)2 = 4
x2 + y2 = 4
Rta:el sistema tiene dos soluciones:




5. Escribir la ecuación cartesiana del subespacio de R3 generado por los vectores .

Se trata de un plano cuyo vector normal es N = V1 X V2 = (-2,4,-1).Rta: -2x+4y-z=0

6. Hallar el precio y la cantidad correspondiente al punto de equilibrio para las siguientes funciones de oferta y demanda (y es la cantidad, x es el precio):

Representargráficamente.

Rta: el punto de equilibrio es (√2/2, 3/2).



7. Escribir la ecuación cartesiana del plano de R3 que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .

Rta: 3x-y+2z=1

8....