UNMSM TEORIA ALGEBRA


AXIOMAS DE NUMEROS REALES
TEORIA DE EXPONENTES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES





El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por  con dos operaciones internas llamadas:
1) Adición (+) :  (a,b) = a+b
2) Multiplicación (.) :  (a,b) = a.b
y una relación de orden “<”
(<, se lee “menor que”); el cual satisface lossiguientes axiomas.

I.


A1: Ley de clausura
 a, b   a + b 
A2: Ley conmutativa
 a, b   a + b = b+a
A3: Ley Asociativa
 a, b, c  
( a + b ) + c = a + ( b + c )
A4: Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
Existe un valor único , denotado por “0” (0, se lee cero) tal que
 a : a + 0 = a = 0 + a
A5: Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
 a, existe un valor único denotado por -a tal que:
 a :
a + (-a) = 0 = (-a) + a

II.


M1: Ley de clausura
 a, b   a.b 
M2: Ley conmutativa
 a, b   a.b = b.a
M3: Ley Asociativa:  a, b, c   ( a . b ) . c = a . ( b . c )
M4: Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo
Existe un valor único , denotado por “1”
( 1, se lee uno ) tal que a : a.1 = a = 1.a
M5: Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo
 a  / a  0; existe un valor único denotado por a - 1 tal que
a. a - 1 = 1 = a - 1. a

III.




 a, b, c 
D1: Distributividad por la izquierda
a ( b + c ) = a b + a c
D2: Distributividad por la derecha
( a + b ) c = ac + bc


IV.

O1 = Ley de Tricotomía
Dados a y b ; se cumple una ysolamente una de las siguiente relaciones:

a < b
a = b
b < a

O2 = Ley Transitiva,  a, b, c ,
se cumple Si; a < b b < c
 a < c
O3 = Ley de la Monotonía
i)  a, b, c ;
si a < b  a + c < b + c
ii) Si a < b 0 < c  ac < bc
iii) Si a < b c < 0  bc < ac

V.




 a, b, c , se cumple

1) Dicotomía: a = b a  b
2) Reflexividad: a = a
3)Simetría: a = b  b = a
4) Transitividad:
Si : a = b b = c  a = c
5) Unicidad de la adición
Si: a = b  a+c = b+c
6) Unicidad de la multiplicación
Si: a = b  a.c = b.c

VI.


Todo conjunto A de números reales (A  0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.

RECTA REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA)
La recta real es una rectageométrica de infinitos puntos donde cada uno de los puntos establece una correspondencia biunívoca con los números reales, esto nos permite visualizar una relación de orden < (menor que) entre dos o más cantidades, como ilustra la gráfica adjunta.



La relación a < b al graficarla en la recta real nos indica que la cantidad “a” se encuentra a la izquierda de la cantidad “b”.
Con respectoa la recta geométrica debemos tener en cuenta lo siguiente:
1. “0” (cero), es el origen de la recta real, no tiene signo.
2. Los números negativos son menores que cero.
3. El cero es menor que cualquier número positivo.
4. El conjunto A denotado por
A =  x / a < x < b 
Se denomina “intervalo abierto” sobre el eje real y tiene dos representaciones matemáticas
X < a; b > ó x] a ; b [
Se lee: “ x pertenece al intervalo abierto “a” coma “b”
5. El conjunto B, denotado por
B =  x / c  x  d 
Donde los extremos c y d están incluidos, se llama “intervalo cerrado” sobre el eje real y se lee: “x pertenece al intervalo cerrado “c” coma “d” ”, se denota como:
x [ a ; d ]
6. El valor absoluto de un número real “a” denotado por |a| satisface la siguiente regla decorrespondencia.
|a| =
7. La distancia entre dos puntos “a” y “b” sobre el eje real es:
|a - b|

TEOREMAS IMPORTANTES EN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

1. Ecuación de primer grado en una variable
 a, b, x ;
con a  0. Si ax + b = 0, entonces se cumple que:

2. Ecuación de segundo grado en una variable
 a, b, c, x ;
con a  0 / ax2 + bx + c = 0
se cumple que:

o también:...