UNRN AM I 2012 TP6 Aplicaciones De Derivadas

[UNRN – Sede Andina – Análisis Matemático I]

[2012]

Año: 2012 – 1º Cuatrimestre

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Trabajo Práctico Nº 6: Aplicaciones de Derivadas
Equipo Docente: Ma. Laura Halladjian – P. Mariano Nowakoski – Gabriela L. Paladino

1) Determinar los máximos y mínimos absolutos en [a, b], a partir de los siguientes gráficos:
i)

iii)

ii)

iv)

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v)

2) Determinar los máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos
indicados:

Función

Intervalo

f ( x ) = 6 − 2x
3 − 2x
5
2
f ( x) = x − x + 6
f ( x) =

f ( x ) = x3 − 12 x
2

f ( x ) = 3x 3 − 2 x

f ( x) = 4 − x − 4

f ( x) =
f ( x) =

x2
x2 + 1
4

( x − 3)

[ −1; 2]
[0;5]

[ −2;1]
[0; 4]
[ −1;1]
[1;6]
[ −1;1]
[ 2;5]

2

3) Hallar elnúmero en el intervalo [0, 1] tal que la diferencia entre el número y su cuadrado sea
máxima.
.
4) Un empresario ha calculado que el costo C de pedido y almacenamiento de x unidades de
un producto es C ( x ) = 2 x +

300000
, 1 ≤ x ≤ 300 . El camión de reparto sólo puede transportar
x

300 unidades. Hallar el pedido de tamaño que minimizará el costo. ¿Bajaría el costo si el
camión se sustituyera porotro que puede transportar 400 unidades? Justificar la respuesta.
5) La fórmula de la potencia P de una batería es P = VI − RI 2

donde V es la fuerza
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electromagnética en voltios, R la resistencia e I la intensidad de corriente. Hallar la intensidad
(medida en amperios) que corresponde a un valor máximo de P en una batería conV= 12
voltios y R = 0,5 ohmios. Supongamos que un fusible de 15 amperios limita la salida de
corriente en el intervalo 0 ≤ I ≤ 15 . ¿Aumentaría la salida de corriente si se sustituye ese
fusible por otro de 20 amperios? Explicar la respuesta.
6) El área de la superficie de una celdilla en un panal es S = 6hs +

3s 2 ⎛ 3 − cos θ ⎞
⎜
⎟ donde h y
2 ⎜⎝ sin θ ⎟⎠

s son constantes positivas y θ es elángulo entre las paredes superiores que intersecan a la
altura de la celda. Averiguar el ángulo que minimiza el área de S.

7) Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar siempre la
respuesta.
a) El máximo absoluto de una función continua f ( x ) en un intervalo cerrado puede ocurrir
en dos valores de x diferentes.
b) Si una función es continua en un intervalo cerrado,entonces siempre alcanza un
mínimo absoluto en ese intervalo.
c) Si x = c es un punto crítico de la función f ( x ) también lo es de la función

g ( x ) = f ( x ) + k , donde k es una constante.
d)

Si x = c es un punto crítico de la función

f ( x ) también lo es de la función

g ( x ) = f ( x − k ) , donde k es una constante.
8) Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.Justificar siempre la
respuesta.
a) Si la gráfica de una función corta al eje x en tres puntos, debe haber dos puntos al
menos en que su tangente sea horizontal.
b) Si la gráfica de una función polinómica corta al eje x en tres puntos, debe haber dos
puntos al menos en que su tangente sea horizontal.
c) Si f ´( x ) = 0 para todo x del dominio, entonces f ( x ) es constante.
e) Demostrar que si a > 0 ysi n es cualquier entero positivo la función polinómica
f ( x ) = x 2 n +1 + ax + b n puede tener dos raíces reales.
Probar que si f ´( x ) = 0 para todo x en ( a; b ) , entonces f es constante en [ a; b] .

f)

9) Calcular los siguientes límites:

3cos x
a) lim
π 2x − π
x→

1
b) lim
tan (π ( x − 1) )
x →1 x − 1

c) lim

e) lim+ x 2 ln x

f) lim+ ⎜
x →0

1⎞
⎛ 1
− ⎟
⎝ sin x x ⎠

g) lim ⎜
x →1

2x→0

x →+∞

ln ( x + e x )
3x

1 ⎞
⎛ 1
−
⎟
⎝ ln x x − 1 ⎠

d) lim+ x cos ecx
x →0

h) lim+ x sin x
x →0

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(

i) lim+ x + e 2 x
x →0

)

m) lim ( cos x )
x→

π

1
x

j) lim

⎛π
⎞
⎜ −x⎟
⎝2 ⎠

x →0

x − tan x
2 sin 2 x

n) lim ( tan x )

2

x→

tan x
π⎞
⎛
x→
2 cot g ⎜ x −
⎟
2⎠
⎝

k) lim
π

⎛ 1 ⎞
o) lim ⎜
⎟
x →1 ln x
⎝
⎠

cos x

π...