urgente

´ahi va
INTRODUCCION A LA
GEOMETR´ DIFERENCIAl
IA
Dispone de un paquete de Mathematica para calcular m´tricas,
e
s´
ımbolos de Christoffel, geod´sicas y curvatura seccional
e

´
Luis Javier HERNANDEZ PARICIO

ii

Apuntes de Geometr´ Diferencial
ıa

´
Indice general
´
INTRODUCCION
1. Breves comentarios hist´ricos
o
2. Objetivos
3. Requisitos

1
1
5
6

Cap´
ıtulo1. PRELIMINARES
1. Nociones y notaciones asociadas a funciones
2. Topolog´
ıa
2.1. Espacios topol´gicos y funciones continuas
o
2.2. Base de una topolog´
ıa
2.3. Propiedades topol´gicas
o
2.4. Construcciones
2.5. Algunos espacios
´
3. Algebra lineal
4. An´lisis matem´tico
a
a
Problemas

9
9
10
10
11
12
12
13
14
17
20

Cap´
ıtulo 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
1. Lanoci´n de variedad diferenciable
o
Problemas
2. La topolog´ de una variedad diferenciable
ıa
2.1. Introducci´n de la topolog´ mediante la relaci´n de
o
ıa
o
compatibilidad
2.2. Introducci´n de la topolog´ mediante atlas maximales
o
ıa
2.3. Propiedades de la topolog´ inducida por la estructura
ıa
diferenciable
3. Algunas propiedades de funciones diferenciables
Problemas
4. Ejemplosde variedades diferenciables
Problemas
5. El conjunto de ceros de una funci´n con valores reales
o
Problemas
6. Propiedades b´sicas de la topolog´ de una variedad
a
ıa
Problemas
7. Miscel´nea
a

23
23
26
29

32
33
33
34
38
39
40
45
46
48

Cap´
ıtulo 3. ESPACIO TANGENTE
1. Notaciones previas

51
51

iii

29
30

iv

´
Indice general

Problemas
2.Derivadas parciales. Propiedades
Problemas
3. Vectores tangentes
Problemas
4. Aplicaci´n tangente
o
Problemas

52
53
53
54
56
57
60

Cap´
ıtulo 4. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
1. Inmersiones
Problemas
2. Submersiones
Problemas
3. Las fibras de una submersi´n
o
Problemas

63
63
65
70
72
73
74

Cap´
ıtulo 5. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
1. Grupos discontinuos yvariedades recubridoras
Problemas
2. Sistemas din´micos
a
Problemas
3. Grupos de Lie
Problemas
4. Encajes de la botella de Klein y del plano proyectivo real

85
85
88
91
94
95
99
99

Cap´
ıtulo 6. CAMPOS Y FORMAS
1. Fibrado tangente y cotangente
Problemas
2. Definici´n y propiedades de campos y formas
o
Problemas
3. Variedades paralelizables
Problemas
4. Variedadesorientables
Problemas
5. Curvas integrales
Problemas

101
101
102
103
109
111
111
112
116
116
118

Cap´
ıtulo 7. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS125
1. Conexiones y derivada covariante
125
Problemas
130
2. Variedades riemannianas
131
Problemas
133
3. Longitudes de curvas y vol´menes
u
137
Problemas
138
4. Conexiones riemannianas
138
Problemas
142
5. Curvatura
146´
Indice general

Problemas
6. Miscel´nea
a

v

151
153

Cap´
ıtulo 8. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY
1. El paquete RiemannianGeometry
1.1. Introducci´n
o
1.2. Algunas pseudom´tricas m´s frecuentes
e
a
1.3. Pseudo-m´trica inducida por una inmersi´n
e
o
1.4. S´
ımbolos de Christoffel y ecuaciones de las geod´sicas
e
1.5. Tensor de curvatura y Curvatura Seccional
1.6.Coeficientes geom´tricos inducidos por una inmersi´n
e
o
1.7. Ejemplos
2. Integraci´n num´rica de las geod´sicas
o
e
e
3. Algunas aplicaciones inform´ticas para la geometr´
a
ıa
4. Otros enlaces interesantes

157
157
157
158
158
159
160
161
163
166
168
169

´
Indice alfab´tico
e

171

Bibliograf´
ıa

175

´
INTRODUCCION
´
Estos son unos apuntes sobre t´cnicasb´sicas de Geometr´ Difee
a
ıa
rencial. Incluyen las nociones que hemos considerado m´s importana
tes acompa˜adas de algunos ejemplos y problemas que creemos que
n
adem´s de facilitar la comprensi´n de los conceptos resaltan aquellos
a
o
aspectos m´s interesantes. Se abordan pausadamente algunos resultaa
dos elementales, aunque no por ello se deja de hacer referencia a otros
teoremas...