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Conjugado de un número complejo
 
Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.
 
Representando elnúmero complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .
 
Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismouna línea horizontal. Así se escribirá:
 

 Propiedades de los conjugados
· Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.
 
 Demostración:
 
En efecto si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z
 
· Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma esigual a la suma de sus conjugados.
 
Esto se expresa escribiendo que
 
 
Demostración:
Tomando z = a + bi y z' = c + di , se tiene:

= a + bi y ' = c - di , conlo que + ' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i
 

· Tercera propiedad
El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichosnúmeros:
 

 
Demostración:
 
Si z = a + bi y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i , cuyo conjugado es = (ac - bd) - (ad + bc)i .
 
· Cuarta propiedad 
Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.
 
Demostración:
Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que
 
a + bi =a - bi
 
Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.
 
· Quinta propiedad
La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, númerosreales.
 
Demostración:
 
(a + bi ) + (a - bi ) = 2a
(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2