Usach
Páginas: 54 (13483 palabras)
Publicado: 28 de noviembre de 2012
0
TOMO II
Prof. JORGE INOSTROZA L. Magíster en Matemática 2010
1
INDICE.
CAPITULO 1.- Cálculo Integral.
1.1.- La integral definida. 1.2.- Teorema fundamental. 1.3.- Aplicaciones: Cálculo de Áreas planas. 1.4.- Área en paramétricas. 1.5.- Área en polares . 1.6.- Volúmenes de rotación 1.7.-Longitud de curva. 1.8.-Área de una superficie de rotación. 1.9.-Integrales Impropias. 1.10.-Guía de Ejercicios. ANEXO # 1.Series de Taylor y de Fourier. ANEXO # 2. El vector geométrico. 61
Pág.
3 10 13 21 23 32 47 51 53 57
80
CAPITULO 2.- Función en Varias Variables
2.1.-Introducción. 2.2.- Funciones en Varias Variables. 2.3.-Gráfico de una función : Superficies cuádricas. 2.4.- Límite y Continuidad. 2.5.- Guía de Ejercicios. 2.6.- La Derivada Parcial. 2.7.- Diferenciabilidadde una función. 2.8.- Derivada Direccional. 2.9.- Aplicaciones de la derivada parcial. 2.10.-Valores extremos. 2.11.- Guía de Ejercicios. 91 94 95 101 110 114 125 132 136 143 155
2
CAPITULO 3.- Integración Múltiple y de línea
3.1.- La Integral doble y triple 3.2.- Integrales Iteradas. 3.3.- Teorema fundamental. 3.4.- Cambio de Coordenadas. 3.5.- Momentos y Centro de Masa . 3.6.- Área deuna Superficie. 3.7.- Guía de Ejercicios. 3.8.-La Integral de línea. 3.9.- La Integral independiente del Camino. 3.10.-Guía de Ejercicios. 3.11.-Bibliografía. 157 160 162 169 178 179 183 188 194 201 201
3
CAPITULO 1.- Cálculo Integral
1.1.- La Integral definida Introducción: La integral definida viene a llenar la necesidad de resolver problemas geométricos como áreas de una figura planaencerrada por curvas y rectas, o volumen de un cuerpo de revolución y su superficie, y también problemas de física como trabajos realizados por una fuerza variable, centro de masa, etc. Pero no solo eso sino que también la encontramos en temas de Ingeniería, Economía, Medicina etc. En particular tomamos el concepto de área que resulta más adecuado para entender la definición de Integral definida; asíel concepto de área, por ejemplo, deja de ser el producto de magnitudes como para el caso del rectángulo y triangulo; cuando se habla de área del círculo, ello porque previene de un concepto mas amplio y teórico como lo es el de integral definida. Para motivar, una definición, abordemos el problema de “calcular el área” de una región plana acotada por: la curva y = f (x); (f(x) función positiva);las rectas x = a; x = b y el eje 0x. y
a
xr
1
b x
xr
Se consideran los siguientes pasos: A) Hagamos un partición P de a, b P : a = x0
x1
x2 ...... xr
1
xr
...... xn
b
xr
1
En n partes iguales o no, en el segundo caso será: de magnitud xr simplemente
rx
b a ó n
= xr
xr
1
r
B) en cada sub-intervalo x r 1 , x r __ escogemos un punto intermedio serel extremo derecho o sea
arbitrario o que puede
4
r
a r
b a :r n
1,2,3,..., n.
C) por cada sub-intervalo de construye un rectángulo de base será:
r
x y altura f (
r
) cuya área
Ar
f ( r)
rx
´o
Ar
f (a k
b a b a ) n n
Y cuya suma: S=
r
f ( r)
rx
; ó
S
r
f (a r (
b a b a ))( ) n n
que se llama “suma intermedia deRiemann”, y que parece una buena aproximación del área buscada sobre todo si n crece indefinidamente o r x tiene a cero, luego :
A
lim
rx
0
f( r)
r
rx
Por ejemplo si la región esta acotada por y = 2 x 2 3 entre x 1 y x 3 , y tomamos en cada sub-intervalo el extremo derecho de éste para una partición de n intervalos iguales tendremos:
a 1; b
n
3; b a
2
s
r 1
f 1 r2 n
2 n
1
n r 1
3
s
8r 8r 2 5 n n2
2 n
s
2 n
n r 1
5
8 n
n r 1
r
8 n2
r2
5
8nn 1 8 n n 1 2n 1 n 2 6 n2 1 16 1 1 s 10 8 1 1 2 n 6 n n
s
2 5n n
Luego:
lim
n
f 1 r
2 n
lim
n
10
81
1 n
8 1 3
1 n
2
1 n
10 8
16 1 =23 3 3
Retornando al plano conceptual, abordemos la definición de una integral...
TOMO II
Prof. JORGE INOSTROZA L. Magíster en Matemática 2010
1
INDICE.
CAPITULO 1.- Cálculo Integral.
1.1.- La integral definida. 1.2.- Teorema fundamental. 1.3.- Aplicaciones: Cálculo de Áreas planas. 1.4.- Área en paramétricas. 1.5.- Área en polares . 1.6.- Volúmenes de rotación 1.7.-Longitud de curva. 1.8.-Área de una superficie de rotación. 1.9.-Integrales Impropias. 1.10.-Guía de Ejercicios. ANEXO # 1.Series de Taylor y de Fourier. ANEXO # 2. El vector geométrico. 61
Pág.
3 10 13 21 23 32 47 51 53 57
80
CAPITULO 2.- Función en Varias Variables
2.1.-Introducción. 2.2.- Funciones en Varias Variables. 2.3.-Gráfico de una función : Superficies cuádricas. 2.4.- Límite y Continuidad. 2.5.- Guía de Ejercicios. 2.6.- La Derivada Parcial. 2.7.- Diferenciabilidadde una función. 2.8.- Derivada Direccional. 2.9.- Aplicaciones de la derivada parcial. 2.10.-Valores extremos. 2.11.- Guía de Ejercicios. 91 94 95 101 110 114 125 132 136 143 155
2
CAPITULO 3.- Integración Múltiple y de línea
3.1.- La Integral doble y triple 3.2.- Integrales Iteradas. 3.3.- Teorema fundamental. 3.4.- Cambio de Coordenadas. 3.5.- Momentos y Centro de Masa . 3.6.- Área deuna Superficie. 3.7.- Guía de Ejercicios. 3.8.-La Integral de línea. 3.9.- La Integral independiente del Camino. 3.10.-Guía de Ejercicios. 3.11.-Bibliografía. 157 160 162 169 178 179 183 188 194 201 201
3
CAPITULO 1.- Cálculo Integral
1.1.- La Integral definida Introducción: La integral definida viene a llenar la necesidad de resolver problemas geométricos como áreas de una figura planaencerrada por curvas y rectas, o volumen de un cuerpo de revolución y su superficie, y también problemas de física como trabajos realizados por una fuerza variable, centro de masa, etc. Pero no solo eso sino que también la encontramos en temas de Ingeniería, Economía, Medicina etc. En particular tomamos el concepto de área que resulta más adecuado para entender la definición de Integral definida; asíel concepto de área, por ejemplo, deja de ser el producto de magnitudes como para el caso del rectángulo y triangulo; cuando se habla de área del círculo, ello porque previene de un concepto mas amplio y teórico como lo es el de integral definida. Para motivar, una definición, abordemos el problema de “calcular el área” de una región plana acotada por: la curva y = f (x); (f(x) función positiva);las rectas x = a; x = b y el eje 0x. y
a
xr
1
b x
xr
Se consideran los siguientes pasos: A) Hagamos un partición P de a, b P : a = x0
x1
x2 ...... xr
1
xr
...... xn
b
xr
1
En n partes iguales o no, en el segundo caso será: de magnitud xr simplemente
rx
b a ó n
= xr
xr
1
r
B) en cada sub-intervalo x r 1 , x r __ escogemos un punto intermedio serel extremo derecho o sea
arbitrario o que puede
4
r
a r
b a :r n
1,2,3,..., n.
C) por cada sub-intervalo de construye un rectángulo de base será:
r
x y altura f (
r
) cuya área
Ar
f ( r)
rx
´o
Ar
f (a k
b a b a ) n n
Y cuya suma: S=
r
f ( r)
rx
; ó
S
r
f (a r (
b a b a ))( ) n n
que se llama “suma intermedia deRiemann”, y que parece una buena aproximación del área buscada sobre todo si n crece indefinidamente o r x tiene a cero, luego :
A
lim
rx
0
f( r)
r
rx
Por ejemplo si la región esta acotada por y = 2 x 2 3 entre x 1 y x 3 , y tomamos en cada sub-intervalo el extremo derecho de éste para una partición de n intervalos iguales tendremos:
a 1; b
n
3; b a
2
s
r 1
f 1 r2 n
2 n
1
n r 1
3
s
8r 8r 2 5 n n2
2 n
s
2 n
n r 1
5
8 n
n r 1
r
8 n2
r2
5
8nn 1 8 n n 1 2n 1 n 2 6 n2 1 16 1 1 s 10 8 1 1 2 n 6 n n
s
2 5n n
Luego:
lim
n
f 1 r
2 n
lim
n
10
81
1 n
8 1 3
1 n
2
1 n
10 8
16 1 =23 3 3
Retornando al plano conceptual, abordemos la definición de una integral...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.