Usar potencias

Usar las potencias
El área de un cuadrado cuyo lado tenga una longitud a, es a² (se lee “a elevado al cuadrado”, o “a elevado a la segunda potencia”, o “a al cuadrado”).
De la misma manera, el volumen de un cubo cuya arista mide a, es a3 (se lee “a elevado al cubo” o “a elevado a la tercera potencia” o “a al cubo”).
Pero, ¿cuál es el significado de otras expresiones similares, tales como 75,(–2)7 o 5–3?
I. Definición
Tomemos a como un número entero distinto de cero y n como otro número entero distinto de cero.
Si n   2, entonces an es el producto de n factores todos iguales a a: .
Llamaremos base al número a que se repite multiplicándose consigo mismo. Llamaremos exponente al número n que se escribe como superíndice y que expresa cuántas veces se repite a en la multiplicación.Si n = 1, entonces a1 = a. Por ejemplo: 51 = 5.
Si n = 0, entonces a0 = 1. Por ejemplo: 70 = 1. Pero esto lo explicaremos más abajo.
Si a = 1, entonces 1n = 1. Por ejemplo: 14 = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.
Si a = 0, entonces 0n = 0. Por ejemplo: 03 = 0 · 0 · 0 = 0.
También, , como veremos más adelante.
107 se lee como “10 elevado a la séptima potencia” o “ 10 elevado a la séptima”, pero se lee “tresséptimos elevado a la quinta potencia” o “tres séptimos elevado a la quinta”.
Ejemplos:

Notas:
—Es muy importante saber que . Vamos a verlo con un ejemplo:
porque:

Y .
—Si la base de una potencia es un número entero negativo, el signo del resultado dependerá del exponente: si el exponente es un número par, el resultado será positivo. En cambio, si el exponente es una cantidad impar, elresultado de la potencia será de signo negativo. Veamos esto con un par de ejemplos.
Ejemplo 1: queremos calcular el valor de .
Sabemos que: . El número 4 es par, el resultado es positivo porque la base se multiplica consigo misma un número par de veces. Por lo tanto, si una potencia de base negativa tiene exponente par, podemos cambiar a voluntad el signo de la base, ya que sabemos de antemanoque el resultado es positivo. En el ejemplo anterior podemos decir indistintamente que: ya que el exponente es un número par.
Ejemplo 2: queremos calcular el valor de .
Sabemos que: . El número 5 es impar, el resultado es negativo porque la base se multiplica consigo misma una cantidad impar de veces.
—El número 210 (el cual es igual a 1.024) es muy utilizado en procesos de datos informáticos.Pero nosotros usamos a menudo la cantidad 1.000 como una aproximación al valor real del número; por ejemplo cuando hablamos de kilobytes, utilizamos la k como prefijo para indicar una multiplicación por 1.000;
—Para calcular la potencia de un número usando calculadora, podemos usar estas teclas: o o o , dependiendo del modelo de calculadora. Así, para calcular 2,34 introducimos la secuencia: 2,3  4    , lo cual nos da: 27,9841.
II. Propiedades
Supongamos que a y b son dos números enteros distintos de cero, y n y p son también dos números enteros.
1) an × a p =  an + p . Un producto de potencias de la misma base es una nueva potencia, que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se están multiplicando. Vamos a entender esto con un ejemplo:54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57. Por lo tanto, podemos decir que: 54 · 53 = 5 4+3 = 57.
2) . Un cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia, con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se están dividiendo. Veamos un ejemplo: . Por lo tanto, podemos decir que .
3) Al principio del artículo vimos que . Vamos a demostrarlo.En una división de potencias de la misma base, puede ocurrir que el exponente del numerador sea menor que el exponente del denominador. En este caso la potencia resultante tendría un exponente de valor negativo. Vamos a verlo mediante un ejemplo.
Queremos calcular este cociente de potencias de la misma base:

Pero también podemos resolverla restando exponentes: .
Por lo tanto, si tenemos...