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INTRODUCCIÓN

Durante el siglo XVIII, los matemáticos trabajaron mucho para enriquecer el análisis matemático con numerosos algoritmos y descubrimientos interesantes: mencionemos las soluciones explícitas de problemas de geometría y de mecánica recurriendo a funciones familiares, las relaciones explícitas entre las funciones exponenciales y logarítmicas, etc. Por el contrario, lasdemostraciones del teorema fundamental del cálculo y del resto de Taylor, para no citar más que dos ejemplos, siguen siendo imprecisas e intuitivas. En el siglo XIX, la preocupación por el rigor se manifiesta con la máxima intensidad y los matemáticos se dan cuenta de las grandes diferencias entre las propiedades de las funciones de variables reales y las de variables complejas. De ello resultará unaintegración armoniosa de los resultados ingeniosos de los siglos precedentes y de las teorías sistemáticas de las funciones de variable real y de variable compleja.

En el campo del álgebra, a principios del siglo XIX, el problema central sigue siendo el de la resolución de las ecuaciones de grado superior a cuatro, y la solución de este problema no se obtendrá hasta que la teoría de grupos y de cuerposesté suficientemente elaborada, gracias a los trabajos de Gauss, Abel, Galois, Jordan, Sylaw, Kronecker, Cayley, Klein y Lie. La importancia concedida al estudio de los problemas lineales se manifiesta en numerosos trabajos consagrados a los determinantes y a las matrices, en el estudio de las formas algebraicas y de los invariantes, en la teoría de los cuaterniones de Hamilton y de los númeroshipercomplejos y, por último, en la introducción del concepto de tipos nuevos de álgebra. Paralelamente, asistimos a la difusión del cálculo vectorial, al considerable auge del análisis vectorial y a los comienzos del cálculo tensorial.

La renovación de la geometría pura está asegurada por los trabajos de Poncelet, que marcan la verdadera creación de la geometría proyectiva como una rama autónomade la geometría. Las innovaciones importantes de Mobins, completadas por los trabajos de Steiner y de Chasles constituyeron verdaderamente la doctrina proyectiva, independientemente de toda noción métrica (distancia, ángulo, etc.) y sobre la única base de axiomas relativos a la posición o al orden de los elementos fundamentales. Es durante el siglo XIX cuando los trabajos criticas emprendidosdesde mucho tiempo antes para profundizar en la significación del postulado de las paralelas conducen por fin a la fundación de la geometría hiperbólica. gracias a los trabajos independientes de Gauss, Lobachevski y Bolyai. La geometría elíptica, introducida por Riemann a mediados del siglo XIX, ilustra un segundo ejemplo de geometrías no euclídeas, que serán ampliamente difundidas e interpretadasdespués de 1868. A lo largo del siglo, la revisión cada vez más atenta de los fundamentos del análisis, reforzada por la difusión de las geometrías no enclideas, lleva a los geómetras a un análisis critico de los principios y de los fundamentos de la geometría clásica. La notable síntesis de Hilbert en este campo inspirará grandemente a la escuela axiomática del siglo xx. La geometría analítica, porsu parte, conoce una expansión brillante, marcada por los trabajos de la escuela francesa sobre las notaciones y el principio de los multiplicadores, por el papel dominante de Plücker en la renovación de los métodos y la extensión del concepto de coordenadas, por la introducción de la geometría reglada y de los espacios de n dimensiones y por la intervención del álgebra lineal. También durante elsiglo XIX, la renovación de los métodos de estudio de las curvas y superficies algebraicas suscita el desarrollo de una disciplina nueva: la geometría algebraica, que tomará su forma definitiva en el siglo XX y conocerá entonces un desarrollo rápido. La geometría diferencial moderna será obra de los trabajos fundamentales de Monge, Gauss y Riemann.

Aunque la topología habla sido presentida...