Uso de la derivada en la ingenieria
Páginas: 8 (1826 palabras)
Publicado: 16 de septiembre de 2014
PEQUEÑAS DEMOSTRACIONES DE GRANDES MATEMATICOS.
En matemáticas, una demostración matemática o prueba es un argumento deductivo para una afirmación matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas.
TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado demayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras de Samos
El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuelapitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el sigloXXVI A. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magístermatheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones deáreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetosa y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC:
Y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.
De lasemejanza entre ABC y BHC:
Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
Pero, por lo que finalmente resulta:
La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre lassuperficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
Siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:
Obtenemos después de simplificar que:
Pero siendo la razón de semejanza, está claro que:
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de larazón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
Que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
(I)
Y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
Pero según (I) , así que:
Y por lo tanto:
Demostración de Euclides:
El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los...
En matemáticas, una demostración matemática o prueba es un argumento deductivo para una afirmación matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas.
TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado demayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras de Samos
El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuelapitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el sigloXXVI A. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magístermatheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones deáreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetosa y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC:
Y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.
De lasemejanza entre ABC y BHC:
Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
Pero, por lo que finalmente resulta:
La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre lassuperficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
Siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:
Obtenemos después de simplificar que:
Pero siendo la razón de semejanza, está claro que:
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de larazón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
Que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
(I)
Y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
Pero según (I) , así que:
Y por lo tanto:
Demostración de Euclides:
El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los...
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