Uso de las derivadas

Uso de las derivadas
1. Introducción.-
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX nose simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Pensemos, por ejemplo, en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura.
Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la persona permanezca en el agua y claro también es que la funciónserá decreciente al haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos.
Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de la temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal.
La disminución podría ser más rápida al principio de la caída e ir luego enlenteciéndose, ocurrirexactamente lo contrario, etc.
De toda esa información dependerá que sepamos cuanto tiempo se tiene aún disponible para salvar la vida de la persona, y esa información nos la dará justamente la derivada de la función en cuestión.
2. Objetivos.-
2.1 Objetivo general.-
Determinar el funcionamiento y la aplicación de las derivadas en las diferentes áreas demostrando la importancia que tiene su uso.2.2 Objetivos específicos.-
Definir el concepto de las derivadas y el uso que se le da en diferentes casos.
Demostrar con ejemplos y sus respectivas soluciones el uso práctico de las derivadas para una mejor comprensión de su aplicación.
3. Fundamento teórico.-
3.1 Conceptos y aplicaciones.-
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otroconcepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es unconcepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera laderivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, talescomo concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible dederivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
3.2 Selección de definiciones y teoremas.-
3.2.1 Definición de función derivable en un punto.-
Una función f de variable real x con dominio D se dice derivable en un punto xo perteneciente a D si y sólo si existe y es finito, el siguiente límite:


Al valor de...