usos industriales del aluminio



INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA QUIMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS



MARCO TEORICO
Método de Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor delaño 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Carl David Tolmé Runge
Carl Runge (30 de agosto de 1856 – 3 de enero de 1927) fue un matemático, físico y espectroscopista alemán. Fue codesarrollador y co-epónimo del método de Runge-Kutta en el campo conocido actualmente como análisis numérico.







Trayectoria

Carl Runge pasó sus primeros años en La Habana, donde su padre JuliusRunge ejercía como cónsul danés. La familia se trasladó más adelante a Bremen, donde Julius murió prematuramente (en 1864).
En 1880 Carl recibió su doctorado en matemática en Berlín, donde había estudiado con Karl Weierstrass. En 1886 llegó a ser profesor en Hanóver. En 1904fue a Gotinga, por iniciativa de Felix Klein donde permaneció hasta su retiro en 1925. Una hija suya se casó con el matemáticoCourant.
Sus intereses incluían la matemática, la espectroscopia, la geodesia y la astrofísica. Además de en matemática pura, realizó una gran cantidad de trabajo experimental estudiando las líneas espectrales de varios elementos, y estuvo muy interesado en la aplicación de su trabajo a la espectroscopia astronómica.




Martin Wilhelm Kutta
(3 de noviembre de 1867 - 25 dediciembre de 1944) físico y matemático alemán.
Kutta nació en Pitschen, Alta Silesia (en la actualidad pertenece a Polonia). Asistió a la Universidad de Breslau de 1885 a 1890. Continuó sus estudios en Múnich hasta 1894, donde se convirtió en asistente del Prof. von Dyck, eminente matemático alemán.









En 1898 pasó un año en la Universidad de Cambridge. Kutta se convirtió en profesor en laUniversidad de Stuttgart en 1911, plaza que ocupó hasta su retiro en 1935.
En 1901 desarrolló, en colaboración con Carle David Tolmé Runge, el método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Será recordado también por el método Zhukovsky-Kutta.
Kutta murió en Fürstenfeldbruck, Alemania.
Ecuación diferencial de primer orden

El procedimiento de Runge-Kutta se puede programarfácilmente en los ordenadores, y además se emplea mucho en la práctica, debido a la su exactitud relativamente elevada de la solución aproximada de la ecuación diferencial. La justificación del procedimiento de Runge-Kutta no es sencilla, el lector interesado puede consultar algún libro de métodos numéricos de análisis
Ecuaciones diferenciales de primer orden

Sea una ecuación diferencial deprimer orden, con la condición inicial

Se elige una anchura de paso h, y se calculan cuatro números k1, k2, k3, k4 de acuerdo con el procedimiento esquematizado en la tabla adjunta. Según el procedimiento ordinario de Runge-Kutta, a partir del valor de x en el instante t se determina el valor de x en el instante t+h mediante la fórmula que figura en la última fila de dicha tabla.La jerarquía de clases
Definimos una clase base abstracta denomina RungeKutta, cuya función miembro resolver nos calcule la solución aproximada de la ecuación diferencial x en el instante final tf, cuando le pasamos el estado inicial, es decir, el valor de x0 en el instante inicial t0. La función devuelve el estado del sistema que puede ser la posición del móvil, la intensidad de la corrienteeléctrica en un circuito, etc., es decir, el valor de x, en el instante t.
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se...