Utilidades

Teoría del Consumidor
El Problema del Consumidor

Preferencias y funciones de utilidad
• Los axiomas A1, A2 y A4 implican que existe una función de utilidad continua u: ℜ2+ → ℜ que representa las preferencias del consumidor. • El axioma A3 implica que la función u(x,y) es no decreciente en x y no decreciente en y; además es creciente en (x,y). • El axioma A5 implica que u es cóncava.Ejemplos
Los bienes x e y son complementarios y sustitutivos imperfectos.
y

u(x,y)=xαyβ

x

Ejemplos
Los bienes x e y son sustitutivos perfectos

y

u(x,y)=αx+βy

x

Ejemplos
Los bienes x e y son complementarios perfectos.
y

u(x,y)=min{αx,βy}

x

Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Definimos la RMS(x,y) como el valor absoluto de la pendiente de la recta tangente a lacurva de indiferencia en el punto (x,y).
y

RMS(x,y) = 1/2

x

Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Conceptualmente, la RMS(x,y) es la cantidad de bien y que hay que dar al consumidor para compensarle por renunciar a consumir una unidad (infinitesimal) de x, de manera que el consumidor mantenga el bienestar que tiene cuando consume la cesta (x,y). Es decir, la RMS(x,y) es el valor queel consumidor que tiene la cesta (x,y) atribuye a una unidad (infinitesimal) del bien x, expresado en unidades del bien y.

Ejemplos
1. u(x,y) = xy
Sea (x,y) una cesta de bienes cualquiera; denotemos xy = u* el nivel de utilidad u* = xy → y =f(x) = u*/x. Por tanto, f’(x) = -u*/x2. Sustituyendo u*=xy obtenemos RMS(x,y) = |-xy/x2| = y/x. Si evaluamos la RMS en la cesta (2,1), tenemos RMS(2,1) =1/2.

Ejemplos
y

RMS = |pte| = 1/2

x

Ejemplos
2. u(x,y) = 2x + y
Sea (x,y) una cesta de bienes cualquiera; denotemos el nivel de utilidad como 2x + y = u* u* = 2x + y → y = f(x) = u* - 2x. Por tanto, RMS(x,y) = |f’(x)| = 2. En este caso la RMS es una constante.

Ejemplos
3. Los bienes x e y son sustitutivos perfectos
y 4

2

0

1

2

x

Ejemplos
3. u(x,y) =min{x,2y} La función de utilidad no es derivable en los puntos (x,y) tales que x ≤ 2y. Para estos puntos la RMS no está definida. En los puntos (x,y) tales que x > 2y, tenemos RMS(x,y)=0.

Ejemplos
3. RMS(x,y) = 0 si y < x/2 y RMS(x,y) está indefinida si y ≥ x/2.
y

u(x,y)=min{x,2y}

y = x/2

x

La RMS como ratio de utilidades marginales
Podemos encontrar una fórmula para calcular laRMS(x,y) sin necesidad de obtener la función y = f(x) que define la curva de indiferencia. Para calcular RMS(x0,y0), partimos de la ecuación que define la curva de indiferencia que pasa por el punto (x0,y0) u(x,y) = u0, con u(x0,y0) = u0. El Teorema de la Función Implícita establece condiciones que garantizan que esta ecuación define una función alrededor del punto (x0,y0), y nos dice que en estascondiciones la derivada de esta función se puede obtener diferenciando totalmente la ecuación.
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(*)

La RMS como ratio de utilidades marginales
Si denotamos las derivadas parciales de u(x,y) con respecto a x e y como ux y uy, derivando totalmente la ecuación (*) obtenemos dx ux + dy uy = 0. La derivada de la función que define la ecuación (*) es |dy/dx| = |-ux/uy | Por tanto, podemosobtener la RMS(x0,y0) evaluando esta expresión en (x0,y0): RMS(x0,y0) = |-ux(x0,y0)/uy(x0,y0)|

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La RMS como ratio de utilidades marginales
Si aplicamos esta fórmula a los ejemplos 1 y 2 que hemos tratado, obtenemos: 1. u(x,y)=xy ux= ∂U/∂x=y uy= ∂U/∂y=x RMS(x,y)= |- ux/uy| = y/x. 2. u(x,y)=2x+y ux= ∂U/∂x=2 uy= ∂U/∂y=1 RMS(x,y)= |- ux/uy| = 2/1= 2 (constante).

El problema del consumidorEl consumidor elige la cesta de bienes que maximiza su bienestar (utilidad) dentro del conjunto de cestas de bienes factibles (conjunto presupuestario). Es decir, el problema del consumidor (PC) es: Max x,y u(x,y) s. a. xpx + ypy ≤ I x ≥ 0, y ≥ 0.

El problema del consumidor
Solución: supongamos que (x*, y*) resuelve el PC. 1. x*px + y*py = I. Prueba: Supongamos que x*px + y*py = I - ∑, donde...