uwuwus

Análisis dimensional
Toda cantidad física tiene unidades características. El reconocimiento de tales unidades y
de sus combinaciones se conoce como análisis dimensional.
Se consideran siete cantidades básicas con base en las cuales pueden definirse todas
las demás. Existen diferentes sistemas de medición en los cuales cada cantidad tiene su
propia unidad de referencia, tal como se muestra acontinuación:
Cantidad
Longitud
Masa
Tiempo
Temperatura
Corriente eléctrica
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa

Sistema de unidades
Cegesimal
Anglosajón
Pulgada [in], Pie [ft],
Metro [m]
Centímetro [cm]
Yarda [yd], Milla [mi], …
Libra [lb],Onza [oz],
Kilogramo [kg]
Gramo [g]
Quintal [cwt], …
Segundo [s]
Kelvin [K]
Rankine [R]
Ampère [A]
Mol [mol]
Candela [Cd]Internacional

Dependiendo de la utilidad de determinadas cantidades derivadas, pueden definirse
también otros sistemas de unidades, tales como el natural (unidades de Planck), o el técnico
(ingenieril).
Estas siete cantidades se han definido a razón de su mensurabilidad (capacidad de
ser medidas) y de los instrumentos con los cuales se pueden determinar. Sin embargo, ahora
se sabe que la cargaeléctrica es una característica de la materia a un nivel más fundamental
que la corriente, y que la intensidad luminosa puede definirse en función de potencia y área.
Por último hay que considerar que la cantidad de materia, más que una medición es un
conteo de partículas.
Tomando en cuenta todo lo anterior, cualquier cantidad física X puede
descomponerse en dimensiones. Esto se expresa:[X] = Lℓ Mm Tt Qq Θθ Nn
En donde las letras mayúsculas indican:
L: longitud, M: masa, T: tiempo, Q: carga eléctrica, Θ: temperatura y N: cantidad de
materia
Mientras que las minúsculas son los exponentes a los cuales cada dimensión debe elevarse.

Por ejemplo,
El análisis dimensional puede aprovecharse para determinar las unidades de una
constante física necesaria para establecer unarelación. Se sabe que la magnitud de la
fuerza, F, de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, esto es:
F∝

m1m2
r2

Siendo m1 y m2 las masas de los cuerpos en cuestión y r la distancia entre ellos.
Para convertir la proporcionalidad en igualdad es necesario introducir una constante,entonces se escribe:
F =G

m1m2
r2

Donde G es la constante de gravitación universal.
¿Qué unidades tiene? Para saberlo se despeja G de la ecuación anterior, quedando:
G=F

r2
m1m2

Por lo tanto, en cuanto a dimensiones, la expresión se escribe:
2

2

[ F ][ r ] = [ F ][ r ]
[G ] =
[ m1 ][ m2 ] [ m]2

En donde los corchetes indican que NOS REFERIREMOS A LAS DIMENSIONES y NOA LOS VALORES.
La masa es una cantidad fundamental, así que sabemos que:

[ m ] = L0 M1T 0Q0Θ0 N 0
De igual manera, la distancia es una longitud, por lo que está referida a esta cantidad
fundamental:

[ r ] = L1M 0T 0Q0Θ0 N 0
Por otro lado, la fuerza se define como la capacidad de someter una masa, m, a cierta
aceleración, a; o bien:

F = ma

De esta ecuación ya sabemos qué pasa conla masa, falta la aceleración. Ésta es el cambio
de velocidad, v, en un tiempo, t, dado:
v
a=
t
en donde el tiempo es cantidad fundamental:

[t ] = L0 M 0 T1Q0Θ 0 N 0
Y la velocidad se define como la distancia, recorrida en un tiempo dado:
v=

r
t

Ambas cantidades involucradas ya son conocidas.
Entonces, agrupamos todo y, usando leyes de los exponentes, queda:

r ] L1M 0 T 0 Q0Θ0 N 0
[
[v ] = = 0 0 1 0 0 0 = L1M 0 T −1Q0Θ0 N 0
[t ] L M T Q Θ N
[ v ] L1M 0T −1Q0Θ0 N0
[ a ] = = 0 0 1 0 0 0 = L1M 0T −2Q0 Θ0 N0
[t ] L M T Q Θ N
[ F ] = [ m][ a ] = ( L0 M1T 0Q0Θ0 N0 )( L1M 0T −2Q0 Θ0 N 0 ) = L1M1T −2Q0Θ0 N 0

(L M T
=

2

1

[ F ][ r ]
[G ] =
2
[ m]

(L M T
1

=

1

−2

1

−2

Q0 Θ0 N 0 )( L1M 0 T 0 Q0 Θ0 N 0 )
0 2

(L M T Q Θ N )
Q Θ...