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Tema III. Cap´
ıtulo 2. Ortogonalidad.

´
Algebra. Departamento de M´todos Matem´ticos y de Representaci´n. UDC.
e
a
o

2. Ortogonalidad.

Proposici´n 2.3 Un sistema ortogonal que no contenga al vector ¯ es un sistema
o
0
libre.

En todo el cap´
ıtulo trabajaremos sobre un espacio vectorial eucl´
ıdeo U .

1

Prueba: Supongamos que {¯1 , . . . , un } es un sistema ortogonalcon todos los vecu
¯
tores no nulos. Supongamos que existen escalares α1 , . . . , αn verificando:

Vectores ortogonales.

α 1 u1 + . . . + α n un = ¯
¯
¯
0.

Definici´n 1.1 Dos vectores x, y ∈ U se dicen ortogonales si:
o
¯ ¯

Si hacemos el producto escalar por un vector uj queda:
¯

x · y = 0.
¯ ¯

(α1 u1 + . . . + αn un ) · uj = ¯ · uj = 0
¯
¯
¯
0 ¯

⇒

α 1 u1 · uj +. . . + α n un · uj = ¯
¯ ¯
¯ ¯
0

Teniendo en cuenta que es un sistema ortogonal, ui · uj = 0 si i = q. Queda por
¯ ¯
tanto:
αj uj · uj = 0.
¯ ¯

Veamos algunas propiedades derivadas de esta definici´n:
o
1. El unico vector ortogonal consigo mismo es el ¯
´
0.
Prueba: Basta tener en cuenta que el producto escalar corresponde a una
forma cuadr´tica definida positiva. Por tanto:
aComo uj = 0, entonces uj · uj = 0 y obtenemos que αj = 0 para cualquier j ∈
¯
¯ ¯
{1, . . . , n}.

x · x = 0 ⇐⇒ x = ¯
¯ ¯
¯ 0.
2. Dos vectores no nulos son ortogonales si y s´lo si forman un angulo de
o
´
Prueba: Si x, y son dos vectores no nulos:
¯ ¯
x, y ortogonales ⇐⇒ x·¯ = 0 ⇐⇒ cos(¯, y ) =
¯ ¯
¯y
x ¯

x·y
¯ ¯
= 0 ⇐⇒
x y
¯ ¯

2.2

π
.
2

(¯, y ) =
x ¯Definici´n 2.4 Una base ortogonal es una base que es un sistema ortogonal.
o
π
.
2

De la definici´n de sistema ortogonal se deduce claramente que:
o

3. Teorema de Pit´goras. Dos vectores x, y son ortogonales si y s´lo si
a
¯ ¯
o
x+y
¯ ¯

2

= x
¯

2

Bases ortogonales.

B es base ortogonal ⇐⇒ Matriz de Gram GB es diagonal

+ y 2.
¯

Definici´n 2.5 Una base ortonormal es unabase que es un sistema ortonormal.
o
Prueba: Basta tener en cuenta que:
x+y
¯ ¯

2

= (¯ + y ) · (¯ + y ) = x
x ¯ x ¯
¯

2

+ y
¯

2

De la definici´n de sistema ortonormal se deduce que:
o

+ 2¯ · y .
x ¯

B es base ortonormal ⇐⇒ Matriz de Gram GB es la identidad

2
2.1

Sistemas ortogonales.

En el estudio de las formas cuadr´ticas sim´tricas se vio que todas sondiagonalia
e
zables por congruencia. Si adem´s son definidas positivas, entonces son congruentes
a
a la matriz identidad. Aplicando este hecho a un espacio eucl´
ıdeo deducimos:

Definici´n
o

Definici´n 2.1 Un sistema de vectores {¯1 , . . . , un } se dice ortogonal, si los veco
u
¯
tores que lo forman son ortogonales dos a dos:
ui · uj = 0
¯ ¯

Teorema 2.6 Todo espacio eucl´
ıdeotiene una base ortonormal.

para cualesquiera i = j, i, j ∈ {1, . . . , n}.

2.3

Definici´n 2.2 Un sistema de vectores {¯1 , . . . , un } se dice ortonormal, si es oro
u
¯
togonal y todos los vectores son unitarios:
j
ui · uj = δi
¯ ¯

M´todo de ortogonalizaci´n de Gram-Schmidt.
e
o

El m´todo nos proporciona un sistema para calcular una base ortogonal {¯1 , . . . , un }
e
u
¯
apartir de una base cualquiera {¯1 , . . . , en }.
e
¯

para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.

El procedimiento es el siguiente:

61

´
Algebra. Departamento de M´todos Matem´ticos y de Representaci´n. UDC.
e
a
o

Tema III. Cap´
ıtulo 2. Ortogonalidad.

Prueba: Dado el sistema {¯1 , . . . , up }, sabemos que podemos completarlo hasta una
u
¯
base de U :

1. Tomamos u1 =e1 .
¯
¯
1
2. Construimos u2 = e2 + α2 u1 .
¯
¯
¯
1
Para hallar el par´metro α2 exigimos que u2 sea ortogonal con u1 :
a
¯
¯

u2 · u1 = 0
¯ ¯

⇒

1
e2 · u1 = −α2 u1 · u1
¯ ¯
¯ ¯

⇒

1
α2 = −

{¯1 , . . . , up , ep+1, , . . . , en }
u
¯ ¯
¯

e2 · u1
¯ ¯
.
u1 · u1
¯ ¯

Ahora aplicamos el m´todo de ortogonalizaci´n de Gram-Schmidt a esta base. Los
e
o
p...