Vañores Máximos Y Mínimos Relativos De Una Función

Páginas: 10 (2360 palabras) Publicado: 3 de julio de 2012
CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

Vallores Máxiimos y Mííniimos Rellatiivos de una funciión..
Va ores Máx mos y M n mos Re at vos de una func ón
Deffiiniiciión 7..-- La función �� = �� �� tiene un valor máximo relativo en �� = �� si
De n c ón 7
existe un intervalo abierto ��; �� que contiene al número �� tal que se cumpla:
�� �� ≥ �� �� ,

∀ �� ∈ ��; �� .

CALCULOdiferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

Deffiiniiciión 8..-- La función �� = �� �� tiene un valor mínimo relativo en �� = �� si
De n c ón 8
existe un intervalo abierto ��; �� que contiene al número �� tal que se cumpla:
�� �� ≤ �� �� ,

∀ �� ∈ ��; �� .

Observaciión 6..-- Si una función tiene un máximo relativo o un mínimo rela tivo
Observac ón 6
en �� = �� , entonces se dice que la funcióntiene un extremo relativo en �� = ��.

CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

Teorema 7..-- Si �� = �� �� existe para todo �� ∈ ��; �� y si �� �� tiene un extremo
Teorema 7
relativo en �� ∈ ��; �� y si ��′ �� existe, entonces ��′ �� = 0.
Deffiiniiciión 9..-- Sea �� ∈ ������ �� y si ��′ �� = 0 ó ��′ �� no existe, entonces �� se
De n c ón 9
llama número o punto crítico de �� ��.
Observaciión 7..-- Para que una función tenga un extremo relativo en �� es que
Observac ón 7
�� = �� sea un punto crítico.

Extremos Absollutos..
Extremos Abso utos
Deffiiniiciión 10..-- La función �� = �� �� tiene un valor máximo absoluto en un
De n c ón 10
intervalo, si existe algún �� = �� en el intervalo tal que �� �� ≥ �� �� , ∀ �� del
intervalo.
Observaciión 8..-- El número ���� es el valor máximo absoluto de la función en
Observac ón 8
ese intervalo.
Deffiiniiciión 11..-- La función �� = �� �� tiene un valor mínimo absoluto en un
De n c ón 11
intervalo, si existe algún �� = �� en el intervalo tal que �� �� ≤ �� �� , ∀ �� del
intervalo.
Observaciión 9..-- El número �� �� es el valor mínimo absoluto de la función en ese
Observac ón 9
intervalo.
Teorema 8..-- Si lafunción �� = �� �� es continua en �� ; �� entonces �� �� tiene un
Teorema 8
valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en ��; �� .
Ejjempllo 30..-- Hallar los extremos relativos de la función:
E emp o 30
�� �� = �� 4 + 4�� 3 − 2�� 2 − 12�� .
Soll::
So
Hallar los puntos críticos: ��′ �� = 0 ó ��′ �� ∄.
��′ �� = 4�� 3 + 12�� 2 − 4�� − 12 ⟹ ��′ �� = �� 3 + 3�� 2 − �� − 3

CALCULOdiferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

��′ �� = �� 2 �� + 3 − �� + 3 ⟹ ��′ �� = �� + 3 �� 2 − 1
��′ �� = �� + 3 �� + 1 �� − 1
��′ �� = 0 ⟹ �� + 3 �� + 1 �� − 1 = 0 ⟹ �� = −3,

�� = −1,

�� = 1

⟹ �� . �� . = −3; −1; 1 .
En: �� = −3 ⟹ �� = −9 ⟹ �� −3 = −9 es un mínimo relativo.
En: �� = −1 ⟹ �� = 7 ⟹ �� −1 = 7 es un máximo relativo.
En: �� = 1 ⟹ �� = −9 ⟹ �� 1 = −9 es un mínimorelativo.
y








x




































































Ejjempllo 31..-- Hallar los extremos relativos si existen de la función:
E emp o 31
�� �� = �� 4

3

+ 4�� 1 3 .

Soll::
So
Hallar los puntos críticos: ��′�� = 0 ó ��′ �� ∄.











CALCULO diferencial
4
��′ �� = �� 1
3

3

��′ �� = 0 ⟹

4 �� + 1
= 0 ⟹ �� = −1.
3�� 2 3

��′ �� ∄ ⟹

4
+ �� −2
3

Prof. Lucy Salazar Rojas

3

⟹ ��′ �� =

4 �� + 1
∄ ⟹ 3�� 2
23
3��

3

4 −2
��
3

3

�� + 1 ⟹ ��′ �� =

4 �� + 1
3�� 2 3

= 0 ⟹ �� = 0.

⟹ ��. �� . = −1; 0 .
En: �� = −1: �� −1 = −3 esun mínimo relativo y en −1; −3 se traza una recta
tangente horizontal paralela al eje ��.
En: �� = 0: ��′ 0 ∄ ∧ �� 0 = 0 y la gráfica de la función tiene una recta
tangente vertical y por definición no existe extremo relativo en �� = 0.

Ejjempllo 32..-- Hallar los extremos absolutos de la función:
E emp o 32
�� �� = �� 3 − 6�� − 1,
Soll::
So
Hallar los puntos críticos: ��′ �� = 0...
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