va bidimensional

Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
Ingeniería de Sistemas
Mérida Edo Mérida






Variables Aleatorias
Bidimensionales



Integrantes:
Ángel Gabriel Uzcategui Fernández CI: 24.197.689
Coalbert Alexander Ramírez Segovia CI: 25.793.252



VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL
En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de unadimensión, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas aplicaciones se hacen utilizando v.a. bidimensionales o n-dimensionales.
En muchas ocasiones nos puede interesar estudiar conjuntamente dos características del fenómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos v.a. para intentarexplicar la posible relación entre ellas. Para poder estudiar conjuntamente las dos v.a., es necesario conocer la distribución de probabilidad conjunta.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BIDIMENSIONAL
Sea la X una v.a. discreta que toma un número finito de valores x1, x2,..., xr y sea Y una v.a. de tipo discreto, que toma valores y1, y2,..., ys.
La probabilidad de que la v.a. X tome el valor xi, y la v.a.Y toma el valor yj, la designaremos por:
Pij = P (xi, yj) = P(X=xi, Y= uj)
La distribución de probabilidad bidimensional o distribución de probabilidad conjunta de una v.a. discreta bidimensional es una función P (xi, yj) que asigna las probabilidades a los diferentes valores conjuntos de la v.a. bidimensional (X, Y), de tal manera que se verifiquen las dos condiciones siguientes

Sea una v.a.bidimensional (X, Y) de tipo discreto cuya distribución de probabilidad es pij = P (xi, yj), i=1, 2,..., r y j = 1, 2,..., s. Se define la función de distribución conjunta, F(x, y) como:


Y representa la suma de las probabilidades puntuales P (xi, yj) hasta el valor (x, y) inclusive de la v.a. bidimensional (X, Y).
Consideremos ahora una v.a. bidimensional (X, Y) de tipo continuo:


Sea (X, Y)una v.a. bidimensional de tipo continuo, si existe una función f(x, y) tal que verifica:


Diremos que f(x, y) es la función de densidad de la v.a. bidimensional continua (X, Y).
Esta función de densidad conjunta, se puede interpretar como un histograma de frecuencias relativas conjuntas para X e Y, pues la función de densidad f(x,y) representa una superficie de densidad de probabilidad en elespacio tridimensional , y el volumen por debajo de esta superficie y por encima del rectángulo e , es igual a la probabilidad de que las v.a. tienen valores dentro del rectángulo indicado, es decir:

Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo que toma valores sobre el espacio bidimensional R2 y cuya función de densidad es f(x,y). Se define la función de distribución de la v.a. bidimensional,F(x,y) como:


La función de distribución bidimensional satisface una serie de propiedades:

DISTRIBUCIÓNES MARGINALES
Ahora nos va a interesar conocer la distribución de alguna o de ambas v.a. por separado, a partir de la información que nos proporcionaba la distribución conjunta de (X,Y), lo cual nos lleva al concepto de distribución marginal.
En el caso de la v.a. bidimensional (X,Y), teniendoen cuenta que todos los sucesos bi-variantes, correspondientes a los diferentes valores que puede tomar la v.a. bidimensional, es decir: (X=xi, Y=yj) i, j = 1, 2, 3, ....
Eran sucesos mutuamente excluyentes, entonces podremos decir que el suceso univariante X=xi es la unión de todos los sucesos bivariantes (X=xi, Y=yj) para todos los valores posibles de yj.
Definición
Sea una v.a. bidimensional(X,Y) de tipo discreto cuya distribución de probabilidad es pij=P(xi, yj). Entonces las distribuciones de probabilidad marginales, de X e Y, respectivamente vienen dadas por


La distribución de probabilidad marginal de X es la probabilidad de que X=xi con independencia del valor que tome Y, con lo que se puede escribir:


De forma análoga la distribución de probabilidad marginal de Y será:


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