Vaciado de tanques mediante integrales

Introducción.

 
Crear modelos con ecuaciones diferenciales es a la vez de ciencia un arte, el arte radica en que el conjunto de suposiciones que sustentan al modelo están centrados en ajustes e ideales, para lo cual no hay reglas universales, que el propio modelador elige con base en la naturaleza y los costos del problema que pretende resolver o de la situación que pretende explicar.  Porotro lado, es ciencia porque se fundamenta en el método científico y la fina estructura lógica matemática de las ecuaciones diferenciales.

Dicho proceso de modelado se fundamenta principalmente en el análisis exhaustivo que el modelador realiza de la situación, pero también en su experiencia sobre el propio modelado y en la simplificación adecuada de las expresiones resultantes, para evitar lacomplejidad por variabilidades irrelevantes o variables que pueden ser ignoradas por su bajo impacto en las consecuencias del fenómeno o incluso en aras de la elegancia de la simplicidad y la pérdida mínima de la capacidad de predicción que posea el propio modelo obtenido.

Por ello, los primeros pasos en la experiencia del modelado mediante ecuaciones diferenciales se dan observando el trabajo delos expertos, es decir estudiar las suposiciones finas y las herramientas (leyes y principios de la ciencias que fundamentan el problema en cuestión) que se emplean en los modelos que han trascendido a lo largo del tiempo en la ciencia y en la ingeniería. 













Vaciado de tanques a través de un orificio o un conducto

Básicamente nuestro modelo matemático se apega alprocedimiento usual para el vaciado de un tanque aplicando ecuaciones diferenciales siendo la forma general del problema la siguiente.

Un depósito de forma conocida, se llena hasta una altura H0 medida por encima de un orificio de área Ao, o un conducto de S longitud y Bo de área de flujo de desde el cual escapa el líquido que contiene el depósito. ¿Cómo modelamos esta situación?

[pic]Análisis:   En un instante t, la altura del líquido es h medida a partir del orificio o del inicio del conducto.  Luego cuando el espejo del líquido en el tanque disminuye una altura dh, el volumen que se ha vaciado en el tanque es dV = A(h) dh, lo cual en el conducto seria lo que avanzaría en S de lo cual obtendríamos dV = B(h)dh en donde A(h) y B(h) son las áreas de la sección del tanque en esaposición h.   Por otro lado, puesto que la cantidad dV que se ha vaciado del tanque escapa por el orificio, se tiene que el gasto desalojado en un tiempo dt es para el area A, Q = v Ao dt = (2gh)1/2 Ao dt, y para el área B seria igual si suponemos que B = A por lo que igualando ambos volúmenes se tiene

[pic]

En este modelo se presentan los siguientes supuestos: 

Se puede expresar el áreade la sección del depósito en función de la altura h, esto es A(h), o B(h) lo cual es igual

El signo negativo en la ecuación se debe a que h disminuye conforme t crece.

El área del orificio  Ao es constante.

Se cumple la Ley de Torricelli, en el sentido de que la presión del fluido provoca la velocidad de vaciado por el orificio, y ésta depende de la altura de la columna de líquido y porconservación de la energía se satisface finalmente v = (2gh)1/2 .

No hay pérdidas de velocidad (energía cinética) debido al rozamiento en los “filos del orificio”.

El fluido no presenta resistencia a “fluir”; es decir,  se desprecia la viscosidad.

No hay presiones ajenas a la atmosférica sobre el espejo del líquido.

De lo cual podemos realizar el siguiente análisis: 

AT: areatransversal del tanque

AO: area del orificio en la base del tanque
h: altura del nivel del agua en el tanque
Ley de Torricelli: [pic]
[pic] [pic]
[pic]
Lo cual será nuestro parámetro para resolver nuestro modelo respectivo, en el cual se han de aplicar los mismos principios que fueron proporcionados.

Problema.
Un recipiente con una sección transversal...