Vaciado de tanques

VACIADO DE TANQUES




Yuliana Zapata Santamarìa
Francisco Jaramillo






PROFESORES:
ESTEBAN VELILLA
JAIME VALENCIA






DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA
FACULTAD DE INGENIERÌA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
MEDELLIN
2014
OBJETIVO
Desarrollar un algoritmo en matlab para resolver el modelo matemático que describe el vaciado o descarga de un tanque por diferentesmétodos los cuales son: ecuaciones diferenciales por separación de variable, método de Euler y método de runge kutta.
Comparar los tiempos de descarga de un tanque para diferentes diámetros del orificio de salida.

Introducción
La descarga de tanques, por más simple que parezca, es quizá una de las practicas más utilizadas en la industria. Hoy en día se necesita ocupar o desocupar un recipienteya sea por mantenimiento o por necesitad. Desde el punto de vista de la ingeniería eléctrica lo podríamos contextualizar con un embalse, una represa la cual posee ciertas características geométricas y contiene una cantidad determinada de agua. Esta agua o fluido dependiendo de las condiciones climáticas y necesidad de generación tendrá un tiempo de vaciado el cual dependerá de la geometría deconstrucción del recipiente (represa) y del diámetro del orificio de salida del fluido.
Utilizaremos ecuaciones diferencia y tres diferentes métodos para solucionarlas: separación de variables, Euler y Runge Kutta; con lo que comprobaremos las proximidades de las respuestas obtenidas con cada uno.
Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas enlas ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una o varias funciones desconocidas con respecto a una o varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funcionesdesconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuacióndiferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible o difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler y Euler mejorado.

MARCO TEÓRICO


MÉTODO DE EULER
Da la solución deecuaciones diferenciales ordinarias de la forma


Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
La primera derivada ofrece una estimación directa de la pendiente en xi

















de donde es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi. La estimación sesustituye en la ecuación:

y se obtiene la siguiente ecuación:



Esta fórmula se conoce como método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto pendiente). Se predice un nuevo valor de y usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de x) para extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso h.

Para calcular el error

Et = valor verdadero – valor aproximado
El errorrelativo porcentual será:

MÉTODO DE RUNGE KUTTA

Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de la serie de Taylor sin necesitar el cálculo de derivadas de orden superior. Existen muchas variantes, pero todas tienen la forma generalizada


De donde se conoce como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el...