Vaciado de un depósito

















Autor: Endika Angel ChicoAsignatura: Cálculo
Fecha: 2-3-12



Introducción


Existen numerosos fenómenos y situaciones de lavida cotidiana, que siendo diferentes tanto en su comportamiento como en su evolución a lo largo del tiempo, a la hora de analizarlos tienen una característica común, pueden modelarse mediante un recurso matemático muy potente, las ecuaciones diferenciales.

El modelado de un fenómeno físico o una situación, consiste en trasladar el problema a un planteamiento matemático mediante, por ejemplo,ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica, astronomía, la economía, el estudio de la radioactividad, los procesos químicos… etc.

Todo diseño de un sistema debe empezar a partir de una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente. Tal predicciónse basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema, llamado modelo matemático. Para los sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que resultan útiles se describen en términos de ecuaciones diferenciales.

Crear modelos con ecuaciones diferenciales es a la vez de ciencia un arte, el arte radica en que el conjunto de suposiciones que sustentan al modeloestán centrados en ajustes e ideales, para lo cual no hay reglas universales, que el propio modelador elige con base en la naturaleza y los costos del problema que pretende resolver o de la situación que pretende explicar. De esta manera, se puede evitar la complejidad por variabilidades irrelevantes o variables que pueden ser ignoradas por su bajo impacto en las consecuencias del fenómeno.Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales, como instrumento matemático, constituyen una herramienta necesaria. Son útiles tanto para el estudio de la mayor parte de las otras materias de una ingeniería, pues prácticamente todas ellas las contienen, como para abordar el propio trabajo profesional del ingeniero, ya que estas son fundamentales para desarrollar modelos matemáticos que van a servir paraayudar a comprender los diferentes fenómenos físicos que van a plantearse.






Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen varias funciones y sus derivadas. De acuerdo al número de variables independientes a las que se deriva, las ecuaciones se clasifican en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: Ecuaciones donde todas las funcionesy sus derivadas dependen de solo una variable independiente, es decir: y = f(x). Las que he estudiado y he utilizado son de este tipo y, además, de primer orden.
Ecuaciones diferenciales parciales: Son ecuaciones donde las funciones y sus derivadas dependen de más de una variable independiente, es decir: z = f(x,y).

Tipos de soluciones


Una solución de una ecuación diferencial es unafunción que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
1. Solución general
Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes. En caso de...