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En esta unidad vamos a dar una pequeña introducción a las nociones de conjuntos de números más significativas, siendo la más importante, el conjunto de los números reales, que se denota por R. En todo este tema, vamos a suponer que el conjunto universal es R. Además, el conjunto de los números reales con sus propiedades se llama sistema de los números reales.
Números reales R
Una de laspropiedades más importantes de los números reales es poderlos representar por puntos de una línea recta. Se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro punto, por común a la derecha, para representar el 1.
Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto de la recta representa a un único número real. Llamamos aesta recta la recta real. En la siguiente imagen se puede ver un ejemplo de recta real:

El conjunto de números reales está formado por los números racionales y los irracionales y se puede representar en una recta en la que se determinan un origen y una unidad, de modo que a cada número real le corresponde un único punto de la recta, y a cada punto de la recta se le asigna un único númeroreal.

La noción de orden en el conjunto de los números reales permite definir en la recta real los siguientes conjuntos numéricos:
• Intervalo abierto de extremos a y b. Es el conjunto de número reales, cuyos elementos son mayores que a y menores que b: .
• Intervalo cerrado de extremos a y b. Es el conjunto de número reales, cuyos elementos son mayores o iguales que a y menores o iguales queb: .
• Intervalo semiabierto o semicerrado de extremos a y b. Observa en este caso, que solo está incluido uno de los extremos:



Los números reales son parte primordial de las matemáticas, ya que son todos los números que pueden ser representados en una recta numérica. Los números reales comprenden:
• Los números positivos.
• Los números negativos.
• El cero.
• Las fracciones.
• Losdecimales.
• Los números racionales.
• Los números irracionales.
Generalmente el conjunto de los números reales es representado por la letra “R”, y se les aplican las operaciones y las diferentes propiedades de operación estudiadas en aritmética y en álgebra:
• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División
• Potenciación
• Raíz
• Propiedad Asociativa
• Propiedad Conmutativa
• PropiedadDistributiva
• Propiedad de Cerradura
• Elemento neutro
Se puede definir a los números reales como el conjunto de todos los números con que realizamos operaciones matemáticas habitualmente en aritmética y álgebra. A Los números reales se contraponen los números imaginarios, que son todos aquellos que no pueden ser representados en una recta numérica, y que corresponden al producto b*i, donde b esun número real, y la constante i representa la raíz cuadrada de -1.
Ejemplo de números reales:
1. Números naturales: {12345678910…}
2. Números enteros positivos = {1, 2. 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}
3. Números enteros negativos = { -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9}
4. Cero: 0
5. Números fraccionarios: ½, ¼, 14/35, 2/7
6. Números decimales: .25 0.999, 0.625
7. Números racionales: .125 y 1/8, .5 y½, .85 y 17/20
8. Números irracionales: p = 3.14159265358979323846… (pi); j = 1.618033988749894848204586834365638117720309… (phi, Número Aureo); √1


Definición de radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.


Potencias y radicales
Se puede expresar un radical en forma de potencia:


Radialesequivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificar radicales
Si existe un número...