Valor absoluto, factorizacion y cocientes y productos notables

DESARROLLO
Valor Absoluto

Geométricamente la representación de los números reales se hace por puntos en una recta eligiendo un punto O para representar en cero y otro a la derecha del cero para representar el 1, esta lección determina la escala y de acuerdo con esta escala dado un punto M le asignamos un numero real “a”, si a es positivo el numero real que le corresponde geométricamentemide la longitud OM y la distancia entre O y M. observe que la distancia entre cero y “a” es la misma entre cero y -a.

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-a 0 a

Este hecho geométrico sugiere la siguiente definición:
Si “a” es un numero real, elvalor absoluto de a se denota |a|

|a|= {a, a si > 0}
{-a, a si < 0}

Propiedades de los Valores Absolutos

1. |x| = |-x| |7|= |-7|
Ejemplo: |2x| – |7| = 5 |2x – 7| = -5
2x = 12 2x = 2
x = 12/2x = 2/2
x = 6 x = 1

2. | x – y | = | y – x| geométricamente significa que la distancia ente x e y es igual a la distancia entre y e x.

3. |x * y| = |x| * |y|
Ejemplo: | (-4 * 7) | = | (-4) |* |7|
|-28| = 4*7
28 = 28

4. |x/y| = |x|/|y|Ejemplo: |-12/4| = |-12|/|4|
12/4 = 12/4
3 = 3

5. | x + y | ≤ |x| + |y|
Ejemplo: | 7 + (-4)| ≤ |7| + | (-4)|
|3| ≤ 7 + 4
3 ≤ 11

6. Para a > 0, |x| < a significa que x < a y x > -a, ( -a < x < a) es decir,
x € (-a, a)
Ejemplo: hallar los valoresde x que cumplan |2x – 3|< 9

-9 < 2x -3 2x – 3 < 9
-9 +3 < 2x 2x < 9 + 3
-6 < 2x 2x < 12
x < -6/2x < 12/2
x > -3 x < 6

x € (-3, ∞) ∩ (-∞,6)
x € (-3,6)

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-∞-3 0 6 ∞

NOTA: siempre que una desigualdad este dividida por un numero negativo, automáticamente cambia el sentido de la desigualdad.

7. Para A > 0, |x| > a significa x > a o x < -a entonces x € (-∞,-a) U (a,∞) Ejemplo: |3x -7| > 8
3x – 7 < -83x – 7 > 8
3x < -8+7 3x > 8 +7
3x < -1 3x > 15
x < -1/3 x > 15/3
x > 5|-----------------|--------------------|-------------------|----------------|
-∞ -1/3 0 5 ∞

x € (-∞, -1/3) U (5, ∞)

Factorización
Factorizar una expresión algebraica significa escribirla como un producto de factores.
La expresión (3x+2)...