Valor absoluto

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Cap´ ıtulo 5

Valor Absoluto
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ ıguez S.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

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Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Marianela Abarca, Lisseth Angulo. o y Walter Mora. CristhianPa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´ e o e ıa Walter Mora. Walter Mora, Marieth Villalobos. escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Colaboradores: Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contenido
5.1 Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto . . . 5.1.1 Propiedades del valor absoluto . . . . . . . 5.1.2Ecuaciones que involucran valor absoluto . 5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 5 . 11 . 25

5.1

Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto

Nuestro objetivo en este cap´ ıtulo eslograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x es una variable real. Para esto conviene recordar la definici´n de valor absoluto siguiente: o Para cada n´mero real x, se define su valor absoluto (y se denota |x| ) de la siguiente manera: u |x| = x si o |x| = −xsi x < 0 x ≥ 0

Esta definici´n frecuentemente se denota de la siguiente manera: o x −x si si x≥0 x 5 4 5 4

Como: y

5 − 4x ≥ 0 5 − 4x < 0    

−4x ≥ −5, −4x < −5, 5 4 5 4

5 − 4x

si si

x≤ x>

∴

|5 − 4x| =

   −(5 − 4x)

Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o

−∞ |5 − 4x| 2|5 − 4x| = x + 2 5 − 4x 2(5 − 4x) = x + 2 10 − 8x = x + 2 −8x − x = 2 − 10−9x = −8 x= 8 9

5/4 −(5 − 4x)

+∞

2[−(5 − 4x)] = x + 2 2[−5 + 4x] = x + 2 −10 + 8x = x + 2 8x − x = 2 + 10 7x = 12 x= 12 7

como

8 5 ∈ −∞, 9 4 S1 = 8 9

como

12 5 ∈ , +∞ 7 4 S2 = 12 7 , o sea S = 8 12 , 9 7

∴

∴

De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n S de 2 4 (5 − 4x)4 = x + 3 es ı o

8 12 , 9 7

Ejercicios 2 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: 1.) |x| = 7J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 2.) |2x + 5| = −8 3.) | − 2x + 9| = 11 4.) −3|3 − 2x| = −12 5.) |3x + 2| = x + 1 6.) 2|2x − 5| = x − 3 7.) 3| − 5x − 1| = −2x + 3 8.) −1 − 2|5 − 3x| = x 9.)
6

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(2x + 1)6 = 3 (1 − 7x)2 = −6

10.) −2 11.)

(x − 2)2 + 3x = 6

12.) x + 2 4 (x − 6)4 = 5 13.) 2|x| + |x − 1| = 4 14.) |2x − 3| − 2|x| = 3 15.) x−1 =2 x+1 (x − 7)2

16.) 2|3x − 1| =17.) 2|2 − x| + |2x − 1| = x 18.) |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0 Nota: En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´n, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´n de o o cada uno de los valores absolutos involucrados.

Soluci´n o 1.) 2|x| + |x − 1| = 4 En este caso se tiene que:   a.) |x| =  x −x   b.) |x − 1| =  si si x≥0 x 0 8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0 9.) |x − 3| ≤ 2x − 5 10.) |x| + 3 ≥2x 11.) 12.)
6

(2x + 1)6 > 3 2 x+1 5
2

−x x > −1 −1 < x < 7

∴

S =] − 1, 7[

4.) |5 − 2x| ≤ 7

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Valor Absoluto |5 − 2x| ≤ 7 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ∴ S = [−1, 6] −7 ≤ 5 − 2x ≤ 7 −7 − 5 ≤ −5 + 5 − 2x ≤ −5 + 7 −12 ≤ −2x ≤ 2 −1 −1 −1 · (−12) ≥ · (−2x) ≥ ·2 2 2 2 6 ≥ x ≥ −1 −1 ≤ x ≤ 6

5.) |2x − 3| < −5 por propiedad 1: |2x − 3| ≥ 0, ∀x, x ∈ R ∴ ∴ |2x − 3| ≥ −5; S=∅ ¡Nunca!

6.)|7 − 2x| ≥ −6 por propiedad 1; |7 − 2x| ≥ 0, ∀x, x ∈ R en particular |7 − 2x| ≥ −6, ∀x, x ∈ R ∴ S=R

7.) |5x + 2| > 0 por propiedad 1; |5x + 2| ≥ 0, ∀x, x ∈ R por propiedad 2; |5x + 2| = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ 5x + 2 5x x = = = 0 −2 −2 5

J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. ∴ |5x + 2| > 0; ∀x, x ∈ R, tal que x = −2 5

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∴

S =R−

−2 5

8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0 2|3 − x| − 10 ≥ 0 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ∴...