Valor absoluto


Objetivos de Aprendizaje
         Resolver desigualdades de valor absoluto usando las Propiedades de la Desigualdad.
         Representar desigualdades de valor absoluto en la recta numérica.
 
Introducción
 
El valor absoluto de un valor o expresión describe su distancia de 0, pero elimina información sobre el signo del número o la dirección. El valor absoluto es siempre positivo ocero, y un valor absoluto positivo pudo resultar de un valor original positivo o negativo.
 
Cuando se resuelven y grafican desigualdades de valores absolutos, tenemos que considerar el comportamiento del valor absoluto y las Propiedades de la Desigualdad. Este tipo de desigualdades se comportan de manera interesante — empecemos.
 
Valor Absoluto
 
Sabemos que el valor absoluto de un número esuna medida de tamaño pero no de dirección. Por ejemplo, |27| y |-27| equivalen a 27 — el valor absoluto indica la distancia desde 0, pero no describe la dirección.
 
Si miramos el reporte del tiempo en las noticias, podríamos escuchar algo como: "Hoy, la temperatura máxima fue de 72°, pero tendremos una oscilación de 10° en la temperatura de mañana. Le daré más detalles después de estosmensajes." Basado en ésta información, la máxima de mañana podría ser de 62° u 82°. El hombre del tiempo ha dicho la diferencia entre temperaturas, pero no nos ha revelado en qué dirección cambiarán.
 
Encontrar el valor absoluto de números con signo puede ser muy fácil — sólo elimina cualquier signo negativo.
 
Considera |m| = 7.5. Sabemos el valor absoluto de m, pero el valor original pudo habersido positivo o negativo. Por lo que en este caso decimos que m = 7.5 o -7.5. La gráfica de abajo muestra |m| = 7.5 en la recta numérica. Nota que hemos graficado las dos posibles soluciones.
 

 
 
Travis tiene 14 años. Hay una diferencia de 5 años entre la edad de Travis y la edad de su hermana, y una diferencia de 2 años entre la edad de Travis y la edad de su hermano. ¿Qué conjunto denúmeros representa todas las edades posibles de Travis y sus hermanos?
 
A) 9, 12, 14, 16, 19
B) 12, 14, 19
C) 9, 14, 16
D) 14, 16, 18, 19, 24
 
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Desigualdades de Valor Absoluto en la Recta Numérica
 
Una vez que el signo de igual es reemplazado por una desigualdad, graficar valores absolutos cambia un poco. Volvamos al ejemplo anterior, |m| = 7.5, peroahora cambia el signo de = a ≤. Ahora tenemos una desigualdad de valor absoluto: |m| ≤ 7.5.
 
Piensa en el reporte del tiempo: “Hoy en la tarde era de 0°, y la temperatura cambió por lo menos 7.5° desde entonces.” Nota que no se especifica en qué dirección se movió la temperatura, y no dice exactamente cuánto cambió — sólo dice que la temperatura cambió por lo menos 7.5°. Podemos representar éstaidea con la declaración |cambio en la temperatura| ≤ 7.5°.
 
Para averiguar el rango de valores de m que satisfacen la desigualdad, necesitamos evaluar ambas posibilidades para |m|: m podría ser positivo o negativo. Si m es positivo, entonces |m| y m son el mismo número.  Si m es negativo, entonces |m| es el opuesto de m, esto es, |m| es -m. Entonces en éste caso tenemos dos posibilidades, m ≤7.5 y -m ≤ 7.5. Necesitamos resolver ambas:
 
Ejemplo
Problema  |m| ≤ 7.5
Solución:   m
≤
7.5
-m
≤
7.5
 
 
 
-m • -1
≥
7.5 • -1
 
 
 
Solución:       m
≥
-7.5
 
Es importante recordar algo: cuando multiplicas ambos lados de la desigualdad por un número negativo, como acabamos de hacer para convertir -m en m, el signo de desigualdad se invierte. Si se te olvida eso, estarás enproblemas.
 
Entonces m puede ser menor o igual que 7.5, o mayor o igual que -7.5. Nota que el rango de soluciones incluye ambos puntos (-7.5 y 7.5) además de los puntos entre ellos. Aquí está la gráfica de la desigualdad en la recta numérica:
 

 
 
Podríamos decir que “m es mayor o igual que -7.5 y menor o igual que 7.5.” Si m es cualquier punto entre -7.5 y 7.5 incluido en la recta...