valor absoluto

Valor absoluto
El valor absoluto de un número real  a  coincide con él mismo si es positivo  o  0,  y es igual a su opuesto si es negativo. Se representa por |a|. 


De modo que elvalor absoluto de cualquier número nunca es negativo.
El valor absoluto de un número coincide siempre con el de su opuesto.
Ejemplos de valor absoluto
a) |3,5| =  3,5


b)|-1,6| = 1,6


c) |4 - 9| = |-5| = 5


d) |π - 2| = π - 2 = 1,141...


e) |-3| + |√2| = 3 + √2 = 4,414...


f) |-4,2| - |-4,2| = 4,2 - 4,2 = 0


Propiedades del valor absoluto
1.|a| = |-a|
2. |a · b| = |a| · |b|
3. |a +b | ≤ |a| + |b|           Desigualdad triangular
4. Si |a|  0
Interpretación Geométrica
Expresión sin valor Absoluto
|x - c| = d
La distanciaentre x y c es d
x - c = ± d   ⇔   
x = d + c    ó    x = - d +c  



|x - c| < d
La distancia entre x y c es estrictamente menor que d
- d < x - c < d  ⇔ 
- d + c < x < d + c|x - c| ≤ d
La distancia entre x y c es menor o igual que d
 


- d ≤ x - c ≤ d  ⇔ 
- d + c ≤ x ≤ d + c
|x - c| > d
La distancia entre x y c es estrictamente mayor que d
x -c > d     ó    x - c < - d 

Por tanto:
x > c + d    ó    x < c - d



|x - c| ≥ d
La distancia entre x y c es mayor o igual que d
x - c ≥ d     ó    x - c ≤ - d 

Por tanto:x ≥ c + d    ó    x ≤ c - d



 
 
 
0 < |x - c| < d
La distancia entre x y c es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que 0
0 < |x - c|   ⇔   x - c ≠ 0  ⇔  x ≠c
|x -c| < d   ⇔  - d + c < x < d + c 

Por tanto:
0 < |x - c| < d   ⇔ 
x ≠c   y  - d + c < x < d + c



e < |x- c| < d
(e > 0 , e < d)
La distancia de x al origenes estrictamente menor que d y estrictamente mayor quee
e < |x - c|   ⇔  x > c + e  ó  x < c - e
|x| < d   ⇔  - d < x < d 

Por tanto:
0 < |x| < d   ⇔  
c - d < x < c - e  ó  c + e < x < c + d...