valor promedio de una funcion

EJEMPLO 1
Encuentre el valor promedio de la función f(x) =x3 en el intervalo [1, 3], e intérprete geométricamente el resultado.
Calcule
a) el valor promedio de ex en -1 ≤ x ≤ 1
b) el valorpromedio de x en a ≤ x ≤ b
Solución
Tenemos







EJEMPLO 2
Encontrar el valor promedio de la función sobre el intervalo [1, 2]
Solución








En el ejemplo encontramos que elvalor promedio de en el intervalo [1, 2] es . Podemos interpretar este valor de manera geométrica. Como

Al calcular el valor de la integral tenemos


Sin embargo esta integral da el área de laregión limitada por y el eje x, entre x=1 y x=2 (véase en la figura). De la ecuación anterior, esta área es , que corresponde al área de un rectángulo cuyo altura es el valor promedio y cuyo anchoes b-a= 2-1 = 1

EJEMPLO 3
Una dosis de 2 miligramos de cierta droga es inyectada en el torrente sanguíneo de una persona. La cantidad de droga que queda en la sangre después de t horas está dadapor . Encuentre la cantidad promedio de la droga en el torrente sanguíneo durante la segunda hora.
Solución. Aquí tenemos que encontrar el valor promedio de en el intervalo desde t=1 a t= 2. Pordefinición tenemos.








INTERPRETACIÓN
La cantidad promedio de la droga en el torrente sanguíneo durante la segunda hora es de 1.24 miligramos.
EJEMPLO 4
Una compañía introduce unproducto nuevo, al que le pone un precio de $5. El costo de producir x unidades semanales es de (1000+ 2x) dólares. Se proyecta que durante el primer año, las ventas semanales aumentaran a una tasaconstante de 200 a 600 unidades. Calcule la utilidad promedio esperada semanal durante el primer año.
Solución. El ingreso de x unidades semanales en 5x dólares. Por lo tanto la función de utilidad semanales




El valor promedio de esta función es el intervalo 200 ≤ x ≤ 600 es entonces






INTERPRETACIÓN
Por lo tanto la utilidad promedio es de $200 semanales durante el primer año...